Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
a)
Il faut : √(x+1) > 0 donc x > -1 car la racine va se retrouver au dénominateur donc f qui est définie sur [-1;3] sera dérivable sur ]-1;3].
f est de la forme uv avec :
u=x-1 donc u' =1
v=√(x+1) donc v'=1/[2√(x+1)]
f '(x)=u'v+uv'
f '(x)=√(x+1) + (x-1) /[2√(x+1)]
On réduit au même déno qui est : 2√(x+1).
f '(x)=[2√(x+1)]*√(x+1) + (x-1)] / [2√(x+1)]
f '(x)=[2(x+1)+x-1] / [2√(x+1)]
f '(x)=(2x+2+x-1) / [2√(x+1)]
f '(x)=(3x+1) / [2√(x+1)]
Ou :
f '(x)=(1/2)*(3x+1) / √(x+1)
b)
Les facteurs 1/2 et √(x+1) sont positifs donc f ' est du signe de 3x+1.
3x+1 > 0 ==> x > -1/3
Variation :
x----------->-1..............-1/3................3
f '(x)------>||.........-.........0.........+.........
f (x)------>............D.......?.........C........
f(-1)=0 ; f(-1/3) ≈ -1.089 ; f(3)=4
c)
Voir graph joint.
d)
Tangentes :
Au point x=0 :
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=1/2 et f(0)=-1
y=(1/2)x-1 ( En rouge sur mon graph)
Au point x=1 :
f '(1)=(1/2)*4/√2=2/√2=√2*√2/√2=√2
f(1)=0
y=√2(x-1)+0
y=x√2- √2 (En bleu sur mon graph)
e)
Pour y=(1/2)x-1 :
Cette tgte passe par le point (0;-1).
Un autre point :
x=2 donne y=(1/2)*2-1=0 donc 2ème point (2;0)
Pour y=x√2- √2 :
f(1)=0 donc la tgte en x=0 passe par (1;0).
x=0 donne y=0*√2-√2=-√2 ≈ -1.4
Donc 2ème point (0;-1.4).
f)
Il faut résoudre f '(x)=0 soit :
(1/2)(3x+1)/√(x+1)=0
soit :
3x+1=0
x=-1/3
On calcule f(-1/3) :
f(-1/3)=(-1/3-1)[(√(-1/3+1)]
f(-1/3)=(-4/3)√(2/3)
Equa tgte horizontale :
y=(-4/3)√(2/3) ≈ -1.09 (En vert sur mon graph)
g)
On résout :
f '(x)=5/2
(1/2)(3x+1)/√(x+1)=5/2
(3x+1)/√(x+1)=5
3x+1=5√(x+1)
Les 2 membres sont positifs : on peut dons les élever au carré.
9x²+6x+1=25(x+1)
Tout à gauche :
9x²-19x-24=0
Δ=b²-4ac=(-19)²-4(9)(-24)=1225
√1225=35
x1=(19-35)/18=-16/18=-8/9
L'autre racine est hors intervalle.
Donc la tgte de coeff directeur 5/2 est au point x=-8/9.
L'ordonnée du point de tangence est f(-8/9).
f(-8/9)=(-8/9-1)√(-8/9+1)=(-17/9)√(1/9)=-(17/9)(1/3)=-17/27
Point de tangence : (-8/9;-17/27).
Je n'ai pas réussi à trouver l'équation réduite ou cartésienne de cette tge : Désolé !!
h) i) : J'ai présumé de mon temps et de mes capacités pour la suite aussi.
Remets ton DM demain en précisant que tu ne veux que les g)h et i) avec un message ici.
