1) On applique Pythagore pour calculer par exemple EH :
[tex] {EH}^{2} = {x}^{2} + {(5 - x)}^{2} \\ = {x}^{2} + 25 - 10x + {x}^{2} \\ = 2 {x}^{2} - 10x + 25[/tex]
Comme l'aire de EFGH correspondant à EH au carré alors cette aire correspondant au résultat précédent. (jusque là, on est d'accord)
2) Cette aire correspondant à une fonction du second degré du type
[tex]a {x}^{2} + bx + c[/tex]
Comme ici a = 2 et est donc positif, alors sa courbe représentative a une pointe vers le bas qui correspond au minimum recherché et donc l'abscisse est égale à
[tex]\frac{ - b}{2a}[/tex]
Ici b = -10 et c = 25
donc l'abscisse du minimum est :
[tex]{x}_{min} = \frac{10}{2 \times 2} = \frac{10}{4} = 2.5[/tex]
Donc l'aire de EFGH est minimum pour x = 2,5 cm. Cette aire vaut 12,5 cm2.
[tex]2 \times {2.5}^{2} - 10 \times 2.5 + 25[/tex]
3)
[tex]2 {x}^{2} - 10x + 25 = 14.12 \\2 {x}^{2} - 10x + 10.88 = 0[/tex]
Ici a = 2, b = -10 et c = 10,88
[tex]Δ = {( - 10)}^{2} - 4 \times 2 \times 10.88 = 100 - 87.04 = 12.96[/tex]
Comme Δ est positif, on a deux solutions :
[tex]{x}_{1} = \frac{10 - \sqrt{12.96} }{2 \times 2} = \frac{10 - 3.6}{4} = \frac{6.4}{4} = 1.6 \\ {x}_{2} = \frac{10 + \sqrt{12.96} }{2 \times 2} = \frac{10 + 3.6}{4} = \frac{13.6}{4} = 3.4[/tex]
Cette aire vaut 14,12 cm2 pour x=1,6 ou 3,4.
4)
[tex]2 {x}^{2} - 10x + 25 = 13 \\ 2 {x}^{2} - 10x + 12 = 0[/tex]
Ici a = 2, b = -10 et c = 12
[tex]Δ = {( - 10)}^{2} - 4 \times 2 \times 12 = 100 - 96 = 4[/tex]
Comme Δ est positif, on a deux solutions :
[tex]{x}_{1} = \frac{10 - \sqrt{4} }{2 \times 2} = \frac{10 - 2 }{4} = \frac{8}{4} = 2\\ {x}_{2} = \frac{10 + \sqrt{4} }{2 \times 2} = \frac{10 + 2 }{4} = \frac{12}{4} = 3[/tex]
L'aire sera inférieur à 13 pour x compris dans l'intervalle [2;3].
