Réponse :
f est définie sur [- 2 ; 2] , par f(x) = (- 2 x + 1)e¹⁻ˣ²
1) calculer f '(x)
la fonction f est dérivable sur [- 2 ; 2] et sa dérivée est f '
f '(x) = (u*v)' = u'v + v'u
u(x) = - 2 x + 1 ⇒ u'(x) = - 2
v(x) = e¹⁻ˣ² ⇒ v'(x) = - 2 xe¹⁻ˣ²
f '(x) = - 2e¹⁻ˣ² + (- 2 x + 1)(- 2 xe¹⁻ˣ²)
= - 2e¹⁻ˣ² + 4 x²e¹⁻ˣ² - 2 xe¹⁻ˣ²
f '(x) = (4 x² - 2 x - 2)e¹⁻ˣ²
2) vérifier que f '(x) = 2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ²
2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ² = 2(2 x² - x - 1)e¹⁻ˣ² = (4 x² - 2 x - 2)e¹⁻ˣ² = f(x)
3) étudier le signe de f '(x)
f '(x) = 2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ² or e¹⁻ˣ² > 0
le signe de f '(x) dépend du signe de (x - 1)(2 x + 1)
x - 2 -1/2 1 2
x - 1 - - 0 +
2 x + 1 - 0 + +
f '(x) + 0 - 0 +
4) en déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 2]
x - 2 - 1/2 1 2
f(x) 5e⁻³→→→→→→→→→ 2e³/⁴→→→→→→→→ - 1→→→→→→→→→→→ -3e⁻³
croissante décroissante croissante
Explications étape par étape :
