Si on peut mettre [tex]P[/tex] sous la forme [tex]P(z) = (z-1)^2Q(z)[/tex], cela veut dire que 1 est racine double de P, ce qui signifie que 1 est aussi racine de P'.
Donc P(1) = 0, et P'(1) = 0.
Or [tex]P'(z) = 5z^4 + 4az^3[/tex]. D'où P(1) = 1 + a + b = 0, et P'(1) = 5 +4a = 0.
On obtient le système :
[tex]\left \{ {{1 + a + b=0} \atop {5 +4a=0}} \right.[/tex]
Après résolution on obtient que a = -5/4 et b = 1/4.
Donc [tex]P(z) = z^5 - \frac{5}{4}z^4 + \frac{1}{4}[/tex].
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