Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
1)
On sait que a>0 et b> 0
On sait aussi que (a -b)² = a² - 2 ab + b²
de plus (a - b)² ≥0
or a>0 et b> 0
donc (a -b)² > 0
donc (a -b)² = a² - 2 ab + b² > 0
donc a² + b² > 2 ab
2)
Vu à la question précédente avec a > 0 et b>0
on a : a² + b² > 2 ab
donc si je divise par ab à droite et à gauche de l'inéquation
on a (a² + b²) / ab > 2
puis on divise par a² + b² et on a
1/ab > 2/ (a² + b²)
donc 2/ (a² + b²) < 1/ (ab) (résultat 1)
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toujours en partant de la question 1) on a avec a >0 et b> 0
a² + b² > 2 ab
2 ab peut s'écrire 2 a²b²/ab = 2 a×a×b×b/(a×b)
donc a
a² + b² > 2 a²b²/ab
on divise par 2a²b² à gauche et à droite de l'inéquation et on a
a² + b² / (2 a²b²) > 1/ab (résultat 2)
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en prenant le résultat 1 et le résultat 2 on a
2/ (a² + b²) < 1/ (ab) < 1/ab < a² + b² / (2 a²b²)
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3)
prenons a = √3 >0 et b = √5> 0
on a donc
(√3 - √5)² = (√3)² - 2× √3×√5 + (√5)²
(√3 - √5)² = 3 - 2√15 + 5
(√3 - √5)² = 8 - 2√15
si on applique l'inéquation de la question 1) on a
3 + 5 > 2√15
si on applique l'inéquation démontrée à la question 2) on a
avec a = √3 > 0 et b = √5 > 0
2 / [(√3)² + (√5)²] < 1/ (√3×√5) < [(√3)² + (√5)²]/(2 × (√3)² × (√5)² )
donc on a
2 / [3 + 5] < 1/ (√15) < [3 + 5]/(2 × 3 × 5 )
donc
2 / 8 < 1/ (√15) < 8/(2 × 3 × 5 )
en appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur ]0;+∞[,
l'inéquation change de sens
on a donc
(2 × 3 × 5 )/ 8 < √15 < 8 / 2
donc 30/8 < √15 < 4 or 30/8 = 3,75
donc on a 3,75 < √15 < 4
on en déduit que 3,75 < √15 < 4
