Réponse :
1. Soit la propriété P(n) : [tex]0 < u_n \leq 2[/tex]
Initialisation :
[tex]u_0=1\\1\leq 2\\u_0\leq 2[/tex]
La propriété P(0) est vraie
Hérédité
On suppose vraie la propriété pour un entier naturel k c'est à dire
[tex]0 < u_k \leq 2[/tex]
Montrons que la propriété est vraie au rang k+1 c'est à dire
[tex]0 < u_{k+1} \leq 2[/tex]
On a :
[tex]0 < u_k \leq 2\\2\times0 < 2u_k \leq 4\\\sqrt{0} <\sqrt{2u_k} \leq \sqrt{4} \\0<u_{k+1}\leq 2\\[/tex]
P(k+1) est vraie.
Conclusion :
La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc [tex]0<u_n\leq 2[/tex] pour tout entier naturel n.
2. Une racine carré étant positive, la suite est à termes strictement positifs.
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{2u_n}}{u_n} =\frac{\sqrt{2} \sqrt{u_n} }{\sqrt{u_n^2} } =\sqrt{\frac{2}{u_n} }[/tex]
Or [tex]0<u_n\leq 2[/tex]
donc
[tex]\frac{2}{u_n} \geq 1\\\sqrt{\frac{2}{u_n} } \geq 1[/tex]
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1[/tex]
La suite [tex](u_n)[/tex] est donc croissante.
3. La suite [tex](u_n)[/tex] est croissante et majorée par 2 donc elle converge.
Explications étape par étape :