SHOTAAIZAWA03
Answered

Bonsoir, j'ai un devoir sur les vecteurs mais je ne comprends pas le devoir. Merci de m'aider.

Soit ABCD un parallelogramme. Soit I le milieu de [DC].
1. Construire les points Met N définis par :
AM = 3/2AB et AN = 3AD.
2.
a) Démontrer que : MN = -3/2AB + 3AD et BI= -1/2 AB + AD.
b) Démontrer que les droites (MN) et (Bl) sont parallèles.
3.
a) Exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AD.
b) En déduire que les points C, Met N sont alignés. ​​​

Sagot :

Réponse :

1) construire les points M et N  définis par :

vec(AM) = 3/2vec(AB)  et  vec(AN) = 3vec(AD)

                                      N/

                                      /

                                    /

                              D /.............I.............. C

                               /                          /

                        A   /............................../B.............. M

2) démontrer que :  vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)

     vec(MN) = vec(MA) + vec(AN)     d'après la relation de Chasles

                    = - vec(AM) + vec(AN)

                    = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)

et démontrer que : vec(BI) = - 1/2vec(AB) + vec(AD)

vec(BI) = vec(BC) + vec(CI)    relation de Chasles

  or  vec(BC) = vec(AD)  (ABCD parallélogramme)

vec(CI) = - vec(IC) = - 1/2vec(DC)    (I milieu de (DC))

or vec(DC) = vec(AB)   (ABCD parallélogramme)

donc vec(BI) = vec(AD) - 1/2vec(AB)

b) démontrer que les droites (MN) et (BI) sont  parallèles

     vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)

      vec(BI) = - 1/2vec(AB) + vec(AD)

  vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)

                 = 3(- 1/2vec(AB) + vec(AD))

                 = 3vec(BI)

donc vec(MN) = 3vec(BI)  ⇒ les vecteurs MN et BI sont colinéaires

par conséquent, les droites (MN) et (BI) sont  parallèles

3)

a) exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AD

vec(CM) = vec(CB) + vec(BM)     relation de Chasles

vec(CB) = - vec(BC) = - vec(AD)

vec(AM) = vec(AB) + vec(BM)   donc vec(BM) = vec(AM) - vec(AB)

vec(BM) = 3/2vec(AB) - vec(AB) = 1/2vec(AB)

donc vec(CM) = 1/2vec(AB) - vec(AD)

vec(CN) = vec(CD) + vec(DN)

vec(CD) = - vec(DC) = - vec(AB)

vec(AN) = vec(AD) + vec(DN)   donc  vec(DN) = vec(AN) - vec(AD)

vec(DN) = 3vec(AD) - vec(AD) = 2vec(AD)

donc  vec(CN) = - vec(AB) + 2vec(AD)

vec(CM) = 1/2vec(AB) - vec(AD)

              = 1/2(vec(AB) - 2vec(AD)) ⇒  2vec(CM) =  vec(AB) - 2vec(AD)                                

vec(CN) = - vec(AB) + 2vec(AD)

             = -(vec(AB) - 2vec(AD))   ⇒ - vec(CN) = vec(AB) - 2vec(AD)

- vec(CN) = 2vec(CM)  ⇒  vec(CN) = - 2vec(CM)

les vecteurs CM et CN sont colinéaires  ⇒ les points C, M et N sont alignés

                   

Explications étape par étape :