bonjour
on considère un nombre premier p≥6
Le nombre premier peut s'écrire :
p=6q+1 ou p=6q+5, avec q entier naturel non nul

1. on suppose que p=6q+1
a. justifier que p² = 12q(3q+1)+1
b. en distinguant deux cas : q pair et q impair, déterminer la parité de q(3q+1)
c. en déduire qu'il existe un entier naturel k tel que p²= 24k+1

si p=6q+5 on demontre de même qu'il existe un entier naturel k' tel que p²=24k'+1

2. quel est le reste de p² dans la division euclidienne par 24 ?

merci d'avance pour votre aide et votre réponse

Question

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bonjour
on considère un nombre premier p≥6
Le nombre premier peut s'écrire :
p=6q+1 ou p=6q+5, avec q entier naturel non nul

1. on suppose que p=6q+1
a. justifier que p² = 12q(3q+1)+1
b. en distinguant deux cas : q pair et q impair, déterminer la parité de q(3q+1)
c. en déduire qu'il existe un entier naturel k tel que p²= 24k+1

si p=6q+5 on demontre de même qu'il existe un entier naturel k' tel que p²=24k'+1

2. quel est le reste de p² dans la division euclidienne par 24 ?

merci d'avance pour votre aide et votre réponse

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Réponse :

Voilà la réponse à toutes tes questions

Explications étape par étape :

1.

a.

p² = (6q+1)²

p² = (6q)²+2x6qx1+1²

p² = 36q+12q+1

On factorise par 12q :

12q (3q+1) + 1 avec 3q + 1 appartenant à un nombre entier relatif

b.

Cas numéro 1 :

q est un nombre pair, il existe donc a appartenant à un nombre entier relatif tel que q = 2a

A = q(3q+1)

A = 2a ( 3x2a+1)

A = 2a (6a+1)

A = 12a² + 2a

A = 2 (6a²+a) avec k = 6a²+a

On a bien 2 x k

Par conséquent, avec q étant un nombre pair, q(3q+1) est pair.

Cas numéro 2 :

q est un nombre impair, il existe donc b appartenant à un nombre entier relatif tel que q = 2b+1

B = q(3q+1)

B = (2b+1) (3x(2b+1)+1)

B = (2b+1) (6b+4)

B = 12b²+8b+6b+4

B= 12b²+14b+4

B = 2 (6b²+7b+2) avec k' = 6b²+7b+2

On a bien 2 x k'

Par conséquent, avec q étant un nombre impair, q(3q+1) est pair.

c.

p² = 36q²+12q+1

24k+1 = 36q²+12q+1

24k = 36q²+12q

24k = 24 (3/2q² + 1/2 q + 1)

k = 3/2q² + 1/2q + 1

p² = 24k+1 avec k = 3/2q² + 1/2 q + 1

avec 6q+5 :

p² = 36q²+60q+25

24k'+1 = 36q²+60q+25

24k' = 36q²+60q+24

24k' = 24 (3/2q² + 5/2q + 1)

k' = 3/2q² + 5/2q + 1

p² = 24k'+1 avec k = 3/2q² + 5/2q + 1

2.

p² ÷ 24 = k'+1

Sagot :

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