Réponse :
On considère la suite (un) définie par u0=3 et pour tout entier naturel n par un+1= un+2n− 1
Déjà une suite, qu’est-ce-que c’est ?
C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait définie que pour les entiers, c’est-à-dire qu’il n’y aurait que f(0), f(1), f(2), f(3)… Sauf qu’on écrit u0, u1, u2, u3…
1) Calculer u1 , u2 et u3.
U0 = 3 , pour tout n ∈ IN, Un+2n-1
U1 = U0 + 2*0 -1
3 + 0 - 1 = 2
U2 = U1 + 2*1 - 1
2 + 2 - 1 = 3
U3 = U2 + 2*2 -1
3 + 4 - 1 = 6
2) On définit la suite (vn) pour tout entier naturel n par vn = un − n2 .
A) Calculer v0 , v1 , v2 et v3 .
On prend les resultat trouver dans le question 1 et remplace par Un.
donc pour tout n ∈ IN , Vn = Un - n^2
V0 = U0 - 0^2 | V1 = U1 - 1^2 | V2= U2-2^2 | V3= U3-3^2
V0 = 2 - 1 = 3 | V1 = 2 - 1 = 1 | V2= 3 - 4 = -1 | V3= 6- 9 = -3
b) Démontrer que la suite (vn) est arithmétique.
qu’est-ce-que c’est une suite arithmétrique en math ?
En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (le plus souvent une suite de réels) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison se note r .
pour tout n ∈ IN , Vn+1 - Vn = Un - n^2
= Un+1 - (n+1)^2 - ( Un - n^2)
Vn+1 :
(Un) j'ai remplacée par Un+1
(n^2) j'ai remplaceé par n+1 car V il est Vn+1
- Vn :
Un - n^2
pour trouver que la suite est arithmétrique on fait Un+1 on connait sa resultat qui vaut Un+2n−1 . donc
pour tout n ∈ IN ,Vn+1 - Vn = Un - n^2
= Un+1 - (n+1)^2 - ( Un - n^2)
= Un+2n−1-(n^2+2*n1+1^1) - Un-n^2
= Un +2n -1 -n^2 -2n -1 -Un +n2
= -2
donc pour tout n ∈ IN ,Vn+1 - Vn = -2 alors (Vn) est une suite arithmétrique de raison -2 avec U0 = 3
c) Exprimer alors vn en fonction de n pour tout entier naturel n.
pour tout n ∈ IN , Vn = U0 + nr donc pour tout Vn= 3 +(-2n)
r c'est raison que j'ai remplacée par n
-2 c'est le resultat que on as trouver et je l'ai remplacée par n
et U0 et il etait deja donnée qui vaut 3
d) En déduire l'expression de un en fonction de n pour tout entier naturel n
Puisque Vn = Un - n alors Un = Vn + n^2 donc Un= 3-2n+n^2
J'espere t'as tout compris.
Bonne journée
