Réponse :
1) justifier que les suites bn et tn sont arithmétiques et préciser la raison de chaque suite
b1 = 2
b2 = 6
b3 = 10
b2 - b1 = 6 - 2 = 4 et b3 - b2 = 10 - 6 = 4 donc bn+1 = bn + 4
la raison r = 4
t1 = 1
t2 = 4
t3 = 7
t2 - t1 = 4 - 1 = 3 et t3 - t2 = 7 - 4 = 3 donc tn+1 = tn + 3
la raison r = 3
2) a) montrer alors que, pour tout n ≠ 0, bn = 4n - 2
bn = b1 + r(n - 1) = 2 + 4(n - 1) = 2 + 4n - 4 = 4n - 2
b) écrire également tn en fonction de n
tn = t1 + r(n - 1) = 1 + 3(n - 1) = 1 + 3n - 3 = 3n - 2
3) a) A une étape on utilise 1106 billes, combien de tiges utilise-t-on à cette étape ?
bn = 4n - 2 ⇔ 2 = 4n - bn
tn = 3 n - 2 ⇔ 2 = 3 n - tn
donc 4n - bn = 3n - tn ⇔ n - bn = - tn ⇔ tn = bn - n
il faut déterminer tout d'abord n
bn = 4n - 2 = 1106 ⇔ 4n = 1108 ⇔ n = 1108/4 = 277
donc t277 = 1106 - 277 = 829 tiges
b) le produit du nombre de billes et du nombre de tiges à une certaine étape est 121 002. A quelle étape de construction est-on ?
bn = 4n - 2
tn = 3n - 2
.....................................
bn x tn = (4n - 2) x (3n - 2) = 121 002 ⇔ 12 n² - 14 n + 4 = 121 002
⇔ 12 n² - 14 n - 120 998 = 0
Δ = 196 + 580 7904 = 5808100 ⇒ √Δ = 2410
n = 14+2410)/24 = 101 on ne prend que la valeur positive
donc il s'agit de la 101 e étape
Explications étape par étape :
