Réponse :
ex.64
Déterminer les limites suivantes à l'aide du taux d'accroissement
1) lim (e^h - 1)/h
h→0
lim (f(0+h) - f(0))/h = f '(0) avec f(x) = eˣ
h→0
la fonction f est dérivable en 0 est sa dérivée f '(x) = eˣ d'où f '(0) = e⁰ = 1
donc lim (e^h - 1)/h = 1
h→0
2) lim (t³ - 8)/(t - 2)
t→2
lim (f(2+h) - f(2))/h = (h³ + 6 h² + 12 h + 8 - 8)/h avec f(t) = t³
h→0
lim (f(2+h) - f(2))/h = h(h² + 6 h + 12)/h = f '(2)
h→0
f est dérivable sur R est sa dérivée f ' est f '(t) = 3 t² ⇒ f '(2) = 3*2² = 12
donc lim (t³ - 8)/(t - 2) = 12
t→2
3) lim (√t - 5)/(t - 25)
t→25
lim (f(25+h) - f(25))/h = f '(25) avec f(t) = √t t > 0
h→0
f(25+h) - f(25) = √(25+h) - √25
= √(25+h) - 5
= (√(25+h) - 5)(√(25+h) + 5)/(√(25+h) + 5)
= (25+h - 25)/(√(25+h) + 5)
= h/(√(25+h) + 5)
donc lim (h/(√(25+h) + 5) = f '(25)
h→0
f est dérivable en 25 et sa dérivée f ' est f '(t) = 1/2√t ⇒ f '(25) = 1/10
lim (√t - 5)/(t - 25) = 1/10
t→25
Explications étape par étape :
