Réponse :
Explications étape par étape :
■ 1°) f(x) = x² + x - 2 = (x-1)(x+2)
f est négative pour -2 < x < 1 .
f est donc positive pour x ∉ [ -2 ; 1 ] .
■ 2°) g(x) = x³ - 2x = x(x²-2) = x(x+√2)(x-√2)
Tableau :
x --> -∞ -√2 -√(2/3) 0 √(2/3) √2 +∞
varia --> croissante | décroissante | croissante
sign g --> - 0 + 0 - 0 +
recherche du nb dérivé :
[ g(1+h) - g(1) ] / h = [ (1+h)³ - 2(1+h) + 1 ] / h
= [ 1 + 3h + 3h² + h³ - 2 - 2h + 1 ] / h
= [ h + 3h² + h³ ] / h
= 1 + 3h + h²
donc Lim(1+3h+h²) pour h tendant vers zéro = 1 .
dérivée de g :
g ' (x) = 3x² - 2 donne g ' (1) = 1
équation de la Tgte en (1 ; -1) :
y = x - 2 .
■ 3a) (x-1)(x² + x - 2) = x³ + x² - 2x - x² - x + 2
= x³ - 3x + 2 .
■ 3b) g(x) > x - 2 donnerait
x³ - 2x > x - 2
x³ - 3x + 2 > 0
(x-1) (x-1)(x+2) > 0
(x-1)² (x+2) > 0
x > -2 .
conclusion :
la courbe C est au-dessus de la Tangente pour x > -2 ;
C est au-dessous de la Tangente pour x < -2 ;
la courbe C et la Tangente ont un point de contact ( 1 ; -1 )
et un point d' intersection ( -2 ; -4 ) .