MargeSimpson1
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Bonjour
Voici une question pour le Lundi 29 novembre ☺ :

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par:
[tex]f(x) = x + 4 - 4 ln(x) - \frac{3}{x} [/tex]
Ou In désigne la fonction logarithme népérien.
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

1) Déterminer la limite de la fonction f en +∞

2) On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; +∞[ et on note f sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0 on a :
[tex]f(x) = \frac{ {x}^{2} - 4x + 3 }{x {}^{2} } [/tex]


Merci au génie qui m'aideront !​

Sagot :

Skabetix

Bonjour,

1) Pour déterminer la limite, il convient de terminer la limite de x - 4ln (x) puisque 4 est une constante et que 3/x tend vers 0

on a lim → +∞ de x - 4ln (x) = lim→+∞ de x(1 - 4ln (x)/x) or par croissance comparée lim → ln (x)/x = 0 d'où lim → +∞ de x - ln (x) = lim→+∞ x = +∞ d'où lim → + ∞ de x + 4 - 4ln(x) - 3/x = +∞

2) dérivée de -3/x = -(-3/x² ) = 3/x²

dérivée de x = 1

dérivée de 4 = 0

dérivée de -4ln(x) = -4 × 1/x = -4/x

donc f'(x) = 1 - 4/x + 3/x²

f'(x) = 1 × x² - (4 × x)/(x × x) + 3/x² = (x² - 4x + 3)/x²

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = x + 4 - 4Lnx - (3/x)   sur IR+*

■ dérivée f ' (x) = 1 - (4/x)  + (3/x²)

                         = (x² - 4x + 3)/x²

                         = (x-1)(x-3)/x²

   cette dérivée est négative pour 1 < x < 3

   la fonction f est donc décroissante pour 1 < x < 3 .

■ comportement de la fonction f à l' infini :

  Lim f(x) = Lim x + 4(1 - Lnx) = Lim x = +∞

  La courbe admettra comme asymptote oblique

                                     la droite d' équation y = x .

■ tableau :

  x --> 0   1      2      3       6      10     100   1000   10ooo   +∞

f(x) --> ║  2   1,73   1,6   2,33   4,5   85,5   976     9967    +∞