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A l’aide s’il vous plaît
Je suis en terminale option math expert
1. Montrer que A = 2305^2019 +1106^2019 est divisible par 9.

2. Montrer que, pour tout n appartenant a N, B = 5" x 12 - 12" x 5 est
divisible par 7.
n

A Laide Sil Vous Plaît Je Suis En Terminale Option Math Expert 1 Montrer Que A 23052019 11062019 Est Divisible Par 9 2 Montrer Que Pour Tout N Appartenant A N B class=

Sagot :

AENEAS

Bonsoir,

1.

On a : 2305 = 256 × 9 + 1

Donc 2305 ≡ 1 [9]

Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ [tex]1^{2019}[/tex] [9]

Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ 1 [9]

De la même façon on a :

1106 = 122 × 9 + 8

Donc 1106 ≡ 8[9]

Donc 1106 ≡ -1[9]

Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ [tex](-1)^{2019}[/tex][9]

Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ -1 [9]

Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ (1-1) [9]

Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ 0 [9]

Donc A = [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex]est divisible par 9.

2. Soit n un entier naturel.

Si n = 0, on a B = [tex]5^{0}[/tex] × [tex]12[/tex] - [tex]12^0[/tex] × 5 = 1 × 12 - 1 × 5 = 7

Donc B est divisible par 7.

Si n ≥ 1, on a :

B = [tex]5^n[/tex] × 12 - [tex]12^n[/tex] × 5 = 5 × ([tex]5^{n-1}[/tex] x 12 - [tex]12^n[/tex]) = 5 × (12 × ([tex]5^{n-1}[/tex] - [tex]12^{n-1}[/tex]))

= 60 × ([tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex])

De plus, on sait que 5 ≡ 5 [7] donc 5 ≡ 12 [7]

Donc comme n ≥ 1, on a :

[tex]5^{n-1}[/tex] ≡ [tex]12^{n-1}[/tex] [7]

Donc 7 divise [tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex]

Donc B est divisible par 7.

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