Bonsoir,
1.
On a : 2305 = 256 × 9 + 1
Donc 2305 ≡ 1 [9]
Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ [tex]1^{2019}[/tex] [9]
Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ 1 [9]
De la même façon on a :
1106 = 122 × 9 + 8
Donc 1106 ≡ 8[9]
Donc 1106 ≡ -1[9]
Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ [tex](-1)^{2019}[/tex][9]
Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ -1 [9]
Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ (1-1) [9]
Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ 0 [9]
Donc A = [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex]est divisible par 9.
2. Soit n un entier naturel.
Si n = 0, on a B = [tex]5^{0}[/tex] × [tex]12[/tex] - [tex]12^0[/tex] × 5 = 1 × 12 - 1 × 5 = 7
Donc B est divisible par 7.
Si n ≥ 1, on a :
B = [tex]5^n[/tex] × 12 - [tex]12^n[/tex] × 5 = 5 × ([tex]5^{n-1}[/tex] x 12 - [tex]12^n[/tex]) = 5 × (12 × ([tex]5^{n-1}[/tex] - [tex]12^{n-1}[/tex]))
= 60 × ([tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex])
De plus, on sait que 5 ≡ 5 [7] donc 5 ≡ 12 [7]
Donc comme n ≥ 1, on a :
[tex]5^{n-1}[/tex] ≡ [tex]12^{n-1}[/tex] [7]
Donc 7 divise [tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex]
Donc B est divisible par 7.
