Bonjour,
Soit n ≥ 2
a) f est dérivable sur [0;+∞[.
Soit x∈R
f'(x) = n(1+x)^(n-1)
f' est dérivable sur [0;+∞[
Et f''(x) = n(n-1)(1+x)^(n-2)
b) ∀n ≥ 2, on a n ≥ 0, (n-1) ≥ 0. Et pour x∈ [0;+∞[, 1+x ≥ 0 donc (1+x)^(n-2) ≥ 0.
Donc ∀n ≥ 2, ∀x ≥ 0, f''(x) ≥ 0
Donc f est convexe sur [0;+∞[
c) L'équation de la tangente T à C au point d'abscisse a est de la forme :
y = f'(a)(x-a) + f(a)
Donc pour a=0, on a :
y = f'(0)x + f(0) = n(1^(n-1))x + 1^n = 1 + nx
d) f est convexe sur [0;+∞[, donc la courbe de f est située au dessus de ses tangentes pour x ≥ 0. Donc, en particulier, pour x ≥ 0 :
f(x) ≥ 1 + nx
(1+x)^n ≥ 1 +nx
L'inégalité de Bernoulli (1+x)^n ≥ 1 +nx est donc démontrée.
