Réponse :
Bonjour
1) On calcule f(3)
f(3) = 3²+1
f(3) = 10
On exprime f(3+h)
f(3+h) = (3+h)²+1
f(3+h) = 9+6h+h²+1
f(3+h) = h² + 6h + 10
Le taux d'accroissement t(h) est
t(h) = [f(3+h) - f(3)] / h
t(h) = (h² + 6h + 10 - 10)) / h
t(h) = (h²+6h)/h
On factorise le numérateur pour simplifier la fraction par h
t(h) = h(h+6)/h
Ainsi :
t(h) = h + 6
2) [tex]\lim_{h \to 0} (h+6) = 6\\[/tex]
La limite du taux d'accroissement est finie donc f est dérivable en 3 et f'(3) = 6
3) Il y a une coquille dans le livre. Soit x = 2 soit x = -2.
Si x = 2
f(2) = 2²+1 = 5
f(2+h) = (2+h)² + 1
f(2+h) = 4 + 4h + h² + 1
f(2+h) = h² + 4h + 5
la taux d'accroissement en x = 2 est :
t(h) = [f(2+h) - f(2)] / h
t(h) = (h² + 4h + 5 - 5)/h
t(h) = (h² + 4h)/h
t(h) = h + 4
[tex]\lim_{h \to 0} (h+4 )= 4[/tex]
La limite du taux d'accroissement est finie donc f est dérivable en 2 et f'(2) = 4.
avec x = -2
f(-2) = (-2)² + 1 = 5
f(-2+h) = (-2 + h)² + 1
f(-2+h) = h² - 4h +5
la taux d'accroissement en x = -2 est :
t(h) = (h² - 4h + 5 - 5) / h
t(h) = h - 4
[tex]\lim_{h \to 0} (h-4 )= -4[/tex]
La limite du taux d'accroissement est finie donc f est dérivable en -2 et f'(-2) = -4.
