Bonjour,
1. Justifier qu'une courbe admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses revient à dire que :
A deux points de la courbes, les pentes des tangentes en ces points sont nulles.
Or on sait que la pente de la tangente à une courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse x est f'(x).
Ainsi, il faut donc trouver deux valeurs de x tel que f'(x) = 0
Or on a d'après le logiciel de calcul formel :
f'(x) = -3x² + 6x
On cherche x∈R tel que f'(x) = 0, c'est à dire tel que -3x² + 6x = 0
Donc tel que x(-3x + 6)=0
Donc x = 0 ou -3x + 6 = 0
Donc x = 0 ou x = 2.
Ainsi, la courbe C admet exactement deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points de coordonnées (0,f(0)) et (2,f(2))
Or f(0) = -(0³) + 3(0²) + 1 = 0 et
f(2) = -(2³) + 3(2²) + 1 = -8 + 12 + 1 = 5
La courbe C admet alors exactement deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points de coordonnées (0,1) et (2,5)
2.a. L'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point A d'abscisse -1 est de la forme :
y = f'(-1)(x-(-1)) + f(-1)
Donc :
y = (-3(-1²) + 6(-1))(x+1) + -((-1)³) + 3((-1)²) + 1
y = (-3 -6)(x+1) + 1 + 3 +1
y = -9(x+1) + 5
y = -9x - 4
b. Pour qu'une tangente à la courbe soit parallèle à [tex]T_{-1}[/tex], il faut que ces deux droites aient la même pente (ou coefficient directeur), c'est à dire -9.
Or on a vu précédemment "que la pente de la tangente à une courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse x est f'(x)."
On cherche donc x∈R tel que f'(x) = -9,
donc tel que -3x² + 6x = -9
Donc -3x² + 6x + 9 = 0
Donc x² -2x -3 = 0
Comme l'équation de la tangente à C au point d'abscisse -1 a pour pente -9 (vu précédemment), -1 est solution. On peut donc factoriser x² -2x -3 par (x+1).
On a alors x² -2x -3 = (x+1)(x-3)
Donc x² -2x -3 = 0 admet comme solutions :
x = -1 ou x = 3
Donc la courbe C admet une tangente parallèle à [tex]T_{-1}[/tex] au point d'abscisse x = 3.
Elle admet comme équation réduite :
y = f'(3)(x-3) + f(3)
Donc :
y = -9(x-3) + -(3³) + 3(3²) + 1
y = -9x + 27 - 27 + 27 + 1
y = -9x + 28
3a. Soit a∈R, l'équation de la tangente à C au point d'abscisse a admet pour équation réduite :
y = f'(a)(x-a) + f(a)
y = (-3a² + 6a)(x-a) + -a³ + 3a² + 1
y = (-3a² + 6a)x + 3a³ - 6a² - a³ + 3a² + 1
y = (-3a² + 6a)x + 2a³ - 3a² + 1
b. [tex]T_a[/tex] passe par l'origine si et seulement si :
(-3a² + 6a)*0 + 2a³ - 3a² + 1 = 0
Donc si et seulement si 2a³ - 3a² + 1 = 0
Or (a-1)²(2a+1) = (a²-2a+1)(2a+1) = 2a³ + a² - 4a² - 2a + 2a + 1 = 2a³ - 3a² + 1
Donc [tex]T_a[/tex] passe par l'origine si et seulement si (a-1)²(2a+1) = 0
c. On cherche a tel que (a-1)²(2a+1) = 0
Donc a = 1 ou a = [tex]\frac{-1}{2}[/tex]
Ainsi les équations réduites des tangentes à la courbe C passant par l'origine du repère sont :
[tex]y_1[/tex] = (-3(1²) + 6(1))x
[tex]y_1[/tex] = (-3 + 6)x
[tex]y_1[/tex] = 3x
et
[tex]y_2[/tex] = (-3([tex](\frac{-1}{2})^2[/tex]) + 6([tex]\frac{-1}{2}[/tex]))x
[tex]y_2[/tex] = ([tex]\frac{-3}{4}[/tex] - 3)x
[tex]y_2[/tex] = [tex]\frac{-15}{4}[/tex]x
