Bonjour,
1. On a :
[tex]u_1 = u_0*1.5 = 2.5*1.5 = 3.75[/tex]
[tex]u_2 = u_1*1.5 = 3.75*1.5 = 5.625[/tex]
2. Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que :
[tex]u_{n+1} = q*u_n[/tex]
q est alors appelé la raison.
Ici c'est le cas avec q = 1.5
Donc (un) est une suite géométrique.
3. Comme (un) est une suite géométrique, son terme général est alors :
Une suite géométrique de raison q ∈ R a pour terme général :
[tex]u_n = u0*q^n[/tex]
Avec ici [tex]u_0 = 2.5[/tex] et [tex]q = 1.5[/tex]
On a donc :
pour tout entier naturel.
4. On a donc :
[tex]u_{15} = 2.5*(1.5)^{15} = 1094.73[/tex] arrondi à [tex]10^{-2}[/tex]
5. Pour la suite (un), comme la raison est strictement plus grand que 1 (1.5 > 1) et que son premier terme est lui aussi strictement positif (2.5 > 0 ) :
La suite (un) est strictement croissante.
6. La somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (uk) de raison q ≠ 1 vérifie :
[tex]S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex]
Avec ici [tex]u_0 = 2.5[/tex] et [tex]q = 1.5[/tex]
On a donc :
[tex]S_n = 2.5\frac{1-(1.5)^{n+1}}{1-1.5} = -5(1-(1.5)^{n+1})[/tex]
7. [tex]S_{10} = -5(1-(1.5)^{11}) = 427.49[/tex] arrondi à [tex]10^{-2}[/tex]
