Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir
sur ]0;12[
Le cout moyen est
Cm (x) = (x³/3 - 3x² + 10 x +36)/ x = x²/3 - 3x + 10 + 36/x
(x³ - 9x² + 30x + 108)/ 3x = x³/3 - 3x² + 10x + 36)/x = Cm(x)
b
Cm(x) est de la forme u(x)/v(x) avec
u(x) = (x³ - 9x² + 30x + 108) et v(x) = 3x
u'(x) = 3x² - 18x + 30 et v'(x) = 3
donc
Cm'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)]/ (v(x))²
Cm'(x) = [(3x² - 18x + 30)(3x) - (x³ - 9x² + 30x + 108) ×3 ]/(3x)²
Cm'(x) = [ 3 (3x³ - 18x² + 30x ) - 3(x³ - 9x² + 30x + 108)} / (3x× 3x)
Cm'(x) = 3 [ (3x³ - 18x² + 30x ) - (x³ - 9x² + 30x + 108)} / (3x× 3x)
Cm'(x) = [ (3x³ - 18x² + 30x ) - (x³ - 9x² + 30x + 108)} / (x× 3x)
Cm'(x) = [ 3x³ - 18x² + 30x - x³ + 9x² - 30x - 108)} / (3x²)
Cm'(x) = [ 2x³ - 9x² - 78 } / (3x²)
[(x -6) (2x² + 3x + 18)] / 3x² = [2x³ + 3x² + 18 x - 12x² - 18x - 78]/(3x²) = [2x³ - 9x² -78]/(3x²) = Cm'(x)
Cm'(x) s'annule si [(x -6) (2x² + 3x + 18)] / 3x² = 0
si [(x -6) (2x² + 3x + 18)] = 0
soit x -6 = 0 ou 2x² + 3x 18 = 0
soit x = 6 ou 2x² + 3x + 18 = 0
calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac
avec a = 2 b = 3 c = 18
Δ = (2)² - 4 (3)(18)
Δ = 4 - 216
Δ = - 212 <0 donc l'équation x² + 3x 18 = 0 n'admet pas de soltions
donc Cm' a le même signe x - 6
tableau de variation
x 0 6 12
___________________________________________________________
x - 6 - ⊕ +
__________________________________________________________
Cm' - ⊕ +
__________________________________________________________
Cm décroissante croissante
c)
La quantité du produit pour que le cout moyen soit minimal est 6 tonnes
