Réponse :
Lorsqu'on demande de calculer une image d'une fonction d'un réel, il suffit de remplacer les inconnus x de la fonction par les réels, et puis lorsqu'on demande de calculer l'antécédent d'un nombre réel par f, il faudra procéder par une équation f(x) = nombre réel, donc :
[tex]f(x) =-x^2+6x+1[/tex]
A/ Calculez l'image de 5 par f
[tex]f(5) =-(5^2)+6*5+1[/tex]
[tex]f(5) =-25+30+1[/tex]
[tex]f(5)=6[/tex]
B/ Calculez l'image de 3 + [tex]\sqrt{10}[/tex] par f
[tex]f(3+\sqrt{10}) = -([3+\sqrt{10}]^2)+ 6*( 3+\sqrt{10})+1[/tex]
[tex]f(3+\sqrt{10} )=0[/tex]
C/ Calculez les antécédents de 1 par f
[tex]-x^2+6x+1 = 1[/tex]
[tex]-x^2+6x = 0[/tex]
En factorisant nous avons l'expression :
[tex]-x(x-6) =0[/tex]
Nous savons que le produit d'un produit fait 0 si et seulement si l'un des deux facteur fasse 0 ;
[tex]-x=0[/tex] ou [tex]x-6=0[/tex]
Donc les solutions sont :
[tex]x1 =0[/tex] et [tex]x2=6[/tex]
D/ Calculez les antécédents de 10 par f
[tex]-x^2+6x+1 = 10[/tex]
[tex]-x^2+6x-9 = 0[/tex]
En factorisant l'expression nous avons :
[tex]-(x-3)^2=0[/tex]
Ici, il est évident qu'il existe qu'une solution :
La solution est [tex]x =3[/tex]
