Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Il faut regarder le mode d'emploi de ta calculatrice. Sinon, si tu as un ordi , ce qui est probable, tu utilises un tableur comme j'ai fait.
En A2 : 0
En A3 : =A2+1
Et je tire .
En B2 : 0
En B3 : =2*B2-4
Et je tire.
Ce qui donne :
Rang ...U
0 ...3
1 ...2
2 ...0
3 ...-4
4 ...-12
5 ...-28
6 ...-60
7 ..-124
8 ...-252
9 ...-508
10 ....-1020
On peut conjecturer que la suite est décroissante.
2)
a)
Ce qui est entre (..) se met en indice. OK ?
V(n)=U(n+1)-U(n) donc :
V(n+1)=U(n+2)-U(n+1)
Mais : U(n+2)=2U(n+1)-4
Et U(n+1)=2U(n)-4
donc :
V(n+1)=2U(n+1)-4-[2U(n)-4]
V(n+1)=2U(n+1)-4-2U(n)+4
V(n+1)=2U(n+1)-2U(n)
V(n+1)=2[U(n+1)-U(n)] mais U(n+1)-U(n)=V(n) donc :
V(n+1)=2V(n)
Ce qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=2.
b)
V(0)=U(1)-U(0)
V(0)=2-3
V(0)=-1
Comme (V(n)) est une suite géométrique de raison q=2 et de 1er terme V(0)=-1 , alors son terme général est :
V(n)=-1*2^n ou mieux :
V(n)=-2^n
Ce qui prouve que les termes de la suite (V(n)) sont tous négatifs.
c)
Donc :
V(n) < 0.
Mais : V(n)=U(n+1)-U(n) donc :
U(n+1)-U(n) < 0
Donc :
U(n+1 < U(n)
qui prouve que la suite (U(n)) est décroissante.
3)
Pour U(0)=6 :
Alors : U(1)=2*6-4=8
Et V(0)=U(1)-U(0)=2
Mais :
V(n)=V(1)*q^n
Donc :
V(n)=2*2^n qui est > 0 . Donc :
U(n+1)-U(n) > 0 donc U(n+1) > U(n) .
Alors (U(n)) : suite croissante.
Pour U(0)=4 :
U(1)=2*4-4=4
V(0)=4-4=0
V(n)=0*2^n qui est toujours nul.
Donc :
U(n+1)-U(n)=0
(U(n)) : suite constante égale à zéro.
Généralisons selon valeur de U(0) :
U(n+1)-U(n)=2U(n)-4-U(n)
U(n+1)-U(n)=U(n)-4
Mais :
V(n)=U(n+1)-U(n) donc :
V(n)=U(n)-4 qui donne :
V(0)=U(0)-4
Si U(0)-4 < 0 soit U(0) < 4 , alors :
V(0) < 0 et les termes de (V(n)) sont tous négatifs donc d'après ce que l'on a vu , (U(n)) est décroissante.
Si U(0) -4 > 0 soit U(0) > 4 , alors :
V(0) > 0 et les termes de (V(n)) sont tous positifs donc d'après ce que l'on a vu , (U(n)) est croissante.
U(0)=4 est traité plus haut.
J'espère que tu as tout compris !!
