Réponse :
L' Aire MAXI de 6366 m² du rectangle dans lequel
on trace souvent le terrain de foot/rugby
est obtenue pour L = 100 mètres
et largeur = 2R ≈ 64 mètres
Explications étape par étape :
■ soit Longueur du rectangle = L
soit Rayon du disque = R
■ Périmètre de la piste de course à pied :
P = 2πR + 2L = 400 mètres
donc πR + L = 200
■ Aire du rectangle :
Arect = 2LR avec L = 200 - πR donne
Arect = 400R - 2πR²
l' Aire MAXI sera obtenue pour 400 - 4πR = 0
100 - πR = 0
R = 100/π
R ≈ 31,83 mètres !
■ étude pour 0 < L < 200 mètres :
L --> 0 50 100 150 200 mètres
πR --> 200 150 100 50 0 mètre
R --> 63,66 47,75 31,83 15,92 0
2LR --> 0 4775 6366 4776 0 m²
■ conclusion :
L' Aire MAXI du rectangle dans lequel on trace souvent
le terrain de foot/rugby est obtenue pour L = 100 mètres
et largeur = 2R = 63,66 mètres .
■ remarques :
- on peut arrondir le Rayon à 32 mètres
( donc la largeur à 64 mètres )
- on aurait pu exprimer l' Aire du rectangle en fonction
de la Longueur du terrain : 2L * (200-L)/π = (400L-2L²)/π
mais c' est plus difficile à manipuler avec le dénominateur π !! ☺
L' Aire MAXI est donc bien obtenue pour 400 - 4L = 0
( donc L = 100 mètres )