Réponse:
a) déterminer les équations horaires de la vitesse de la voiture Vx(t) et Vy(t)
•
Vx(t) = dx/dt = x(t) = Rwcos(wt)
•
Vy(t) = dy/dt = y(t) = Rwsin(wt)
b) déduire que le mouvement de la voiture est uniforme
V² = V²(x) + V²(y)
==> V = √(V²(x) + V²(y))
==> = √[(Rwcos(wt) )² + (–Rwsin(wt) )²]
==> = √ [R²w²cos²(wt) + R²w²sin²(wt)]
==> = √[ R²w²(cos²(wt) + sin²(wt)]
==> = √R²w²
==> V = RW
AN: V = 100 × 0,25
V= 25 m/s donc V= constante d'où le mouvement est uniforme.
on a V = RW ==> W= V/R ( Vitesse angulaire)
donc le mouvement n'est pas rectiligne la vitesse s'exprime en fonction de la vitesse angulaire.
c) déterminer les équations horaires de
→
l'accélération a de la voiture
→ ••
ax(t) = dV /dt = x (t) = –Rw²sin(wt)
→ ••
ay(t) = dV /dt = y (t) = –Rw²cos(wt)
d) l'accélération de la voiture est-elle constante ? sa norme est-elle constante ?
a² = a²x + a²y
==> a = √(a²x + a²y)
==> a = √[ (–Rw²sin(wt))²+ (–Rw²coswt))² ]
==> a = √[ R²w⁴sin²(wt) + R²w⁴cos²(wt)]
==> a = √[ R²w⁴(sin²(wt) + cos²(wt) )]
==> a = √(R²w⁴)
==> a = Rw²
AN: a = 100 × (0,25)²
a = 6,25 m/s² donc a = constante
sa norme est donc constante (m/s²)
e) montrer que →a est orthogonal à →v
il suffit de montrer que →a. →v = 0
ax × Vx + ay × Vy
= [–Rw²sin(wt) × Rwcos(wt) ] + [ –Rw²cos(wt) × (–Rwsin(wt))]
= –R²w³sin(wt)cos(wt) + R²w³cos(wt)sin(wt)
= 0 donc →a est orthogonal à→v
f) Donnons l'expression de la vitesse et de l'accélération dans le répère de Frenet
Dans le répère de Frenet :
La vitesse est dans le même sens que la tangentielle →T à la trajectoire
→VM= d→OM/dt = (d→OM/ds)dt
= (ds/dt)→T
→VM = →VT = (ds/dt)→T
→VN = 0
→a | →at = d→v/dt =0
→aN = V²/R >0
montrer que →a orthogonal à →V c'est →a•→V = 0
at × Vt + aN × VN = 0 × ds/dt →T + V²/R × 0
= 0 donc →a• →V = 0
Explications:
♦ la dérivée de cos(Ax) est -Asin(Ax)
♦ la dérivée de sin(Ax) est Acos(Ax)
♦ cos²(wt) + sin²(wt) = 1
→ ceci est le vectoriel
