Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
1/φ=y/x
Mais : y/x=(x-y)/y=x/y - y/y=φ - 1
Donc :
1/φ=φ - 1
On ramène tout à droite :
0=φ - 1 -1/φ
On réduit au même dénominateur en ramenant tout à gauche :
(φ²-φ - 1)/φ=0
Une fraction nulle <==> numérateur nul. Donc :
φ²-φ-1=0
2)
Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-1)=5
√Δ=√5
φ1=(1-√5)/2 qui < 0 et φ2=(1+√5)/52 > 0.
"x"' étant une longueur , on ne garde que :
φ=(1+√5)/2 ≈ 1.618
3)
AFGD rectangle d'or :
On prend AB=BC=1.
Donc : EB=1/2
Pythagore dans EBC rectangle en B :
EC²=1²+(1/2)²=4/4+1/4=5/4
EC=EF=(√5)/2
AF=AE+EF=1/2+(√5)/2
AF=(1+√5)/2
AF/AD=[(1+√5)/2] / 1=(1+√5)/2
AFGD est donc rectangle d'or.
BCF' G' rectangle d'or :
Démonstration identique avec BF '=AF =(1+√5)/2
BCFG rectangle d'or :
BF=EF-EB=(√5/2)-1/2=(√5 - 1) /2
BC=1
BC/BF=1/[(√5-1)/2]=2/(√5-1)
On va multiplier cette fraction par : (√5+1)/(√5+1) qui vaut 1 et ne change donc pas la valeur de la fraction.
BC/BF=2(√5+1)/[(√5-1)(√5+1)]
Au dé"nominateur on reconnaît : (a-b)(a+b)=a²-b² . Donc :
BC/BF=2(√5+1)/[(√5)²-1²]=2(√5+1)/(5-1)
BC/BF=2(√5+1)/4 ==>on simplifie par 2.
BC/BF=(1+√5)/2
