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Un artisan fabrique des boîtes à bijoux en bois. Il peut en fabriquer jusqu’à 150 par mois. On suppose que toute la production est vendue
chaque boîte est vendue 50€.
Le coût de fabrication, en euros, de x boîtes est donné par la
fonction C définie sur [0;150] par C(x) = 0,25x² + 17,5 x+300 .
1) Quel est le coût de fabrication de 20 boîtes ?
vous calculez C(20)
2) On note R( x) la recette, en euros, pour x boîtes vendues. Exprimer
R( x) en fonction de x.
on sait que chq boite est vendue 50€
=> R(x) = 50x
3) On note B( x) le bénéfice réalisé, en euros, pour la production et la vente
de x boîtes et on admet que B(x)=R(x) − C(x) . Démontrer que pour tout
x∈[0; 150] ,
B( x) = −0,25x² +32,5x - 300
R(x) = 50x
et C(x) = 0,25x² + 17,5 x+300 .
donc B(x) = 50x - (0,25x² + 17,5 x+300)
vous terminez :)
4) a) Écrire sous la forme canonique.
B( x) = −0,25x² +32,5x - 300
= -0,25 (x² - 130) - 300
= -0,25 [(x - 65)² - 65²] - 300
= - 025 (x - 65)² + 1056,25 - 300
= - 0,25 (x - 65)² + 756,25
b) En déduire le tableau de variations de B sur [0;150].
devant le x² on a -0,25 => parabole en forme de ∩
la courbe est d'abord croissante puis décroissante
changement de sens à son sommet que vous trouvez avec la forme canonique -voir cours
c) En déduire le nombre de boîtes à fabriquer et à vendre pour réaliser un
bénéfice maximal ainsi que le bénéfice maximal.
= coordonnées du sommet
5) a) Démontrer que pour tout x∈[0; 150] ,
B( x)= −0,25( x−10)( x−120)
vous développez cette expression pour retomber sur B(x) original
b) En déduire le tableau de signes de B sur [0;150].
la courbe va couper l'axe des abscisses en x = 10 et x = 120
donc négative avant 10, positive entre les 2 racines puis de nouveau négatif
c) En déduire combien de boîtes l’artisan doit fabriquer et vendre pour
réaliser un bénéfice positif.
entre 10 et 120 boîtes
