Réponse :
f(x) = x² - 3 x + 2 et g(x) = - x² + 6 x - 5
1) étudier les variations des fonctions f et g puis dresser leurs tableaux de variations
f '(x) = 2 x - 3
x - ∞ 3/2 + ∞
f '(x) - 0 +
f '(x) ≤ 0 sur ]- ∞ ; 3/2] ⇒ la fonction f est décroissante sur ]-∞ ; 3/2]
f '(x) ≥ 0 sur [3/2 ; + ∞[ ⇒ la fonction f est croissante sur [3/2 ; + ∞[
Tableau de variation de f sur R
x - ∞ 3/2 + ∞
variations + ∞ →→→→→→→→→ f(3/2)→→→→→→→→ + ∞
de f(x) décroissante croissante
g(x) = - x² + 6 x - 5
g '(x) = - 2 x + 6
x - ∞ 3 + ∞
g '(x) + 0 -
g '(x) ≥ 0 sur ]-∞ ; 3] ⇒ la fonction g est croissante sur ]-∞ ; 3]
g '(x) ≤ 0 sur [3 ; + ∞[ ⇒ la fonction g est décroissante sur [3 ; + ∞[
tableau de variations de la fonction g sur R
x - ∞ 3 + ∞
variations - ∞ →→→→→→→→→→ g(3)→→→→→→→→→→ - ∞
de g(x) croissante décroissante
2) tracer C et C'
il suffit de placer les sommets S(3/2 ; f(3/2)) pour la fonction f
et S(3 ; f(3)) pour la fonction g
pour cela il faut calculer f(3/2) = ........ et g(3) = ...............
f(0) = 2 et g(0) = - 5 la courbe C de f coupe l'axe des ordonnées en 2
et la courbe C' de g coupe l'axe des ordonnées en - 5
la courbe C de coupe l'axe des abscisses ⇒ f(x) = 0 ⇔ x² - 3 x + 2 = 0
Δ = 9 - 8 = 1
x1 = 3 +1)/2 = 2
x2 = 3 - 1)/2 = 1
Donc la courbe C de f coupe l'axe des abscisses en x = 1 et x = 2
la courbe C de f est tournée vers le haut car a = 1 > 0
la courbe C' de g coupe l'axe des abscisses ⇒ g(x) = 0 ⇔ - x² + 6 x - 5 = 0
Δ = 36 - 20 = 16
x1 = - 6 + 4)/-2 = 1
x2 = - 6 -4)/- 2 = 5
Donc la courbe C' de g coupe l'axe des abscisses en x = 1 et x = 5
la courbe C' de g est tournée vers le bas car a = - 1 < 0
3) déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection de C et de C' avec l'axe des abscisses
on écrit f(x) = g(x) ⇔ x² - 3 x + 2 = - x² + 6 x - 5
⇔ 2 x² - 9 x + 7 = 0
Δ = 81 - 56 = 25
x1 = 9 + 5)/4 = 7/2 = 3.5
x2 = 9 - 5)/4 = 1
Donc les coordonnées des points d'intersection de C et C' sont :
(7/2 ; 0) et (1 ; 0)
4) déterminer les valeurs de x pour lesquelles la courbe C' est au-dessus de la courbe C
on écrit g (x) > f(x) ⇔ f(x) - g(x) < 0 ⇔ 2 x² - 9 x + 7 < 0
x - ∞ 1 7/2 + ∞
f(x) - g(x) + 0 - 0 +
x ∈ ]1 ; 7/2[
Explications étape par étape :
