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PREMIÈRE
MATHÉMATIQUES
Exercice 1
Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à 40 € la place, il peut compter jusqu'à 500 spectateurs et que
chaque baisse de 2,50 € lui amène 100 personnes de plus. On souhaite savoir combien il doit faire payer la place
pour avoir une recette maximale.
1. Soit « le nombre de baisses du prix de la place de 2,50 €.

f2) = (40 - 2,50x) (500 + 100x)

(b) Entre quelles valeurs doit se situer x? Justifier
2. En étudiant les variations de la fonction choisie, résoudre le problème.

Sagot :

LEGRANDU48

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir,

1) x ≥ 1 et 40-2.5x ≥ 0 donc x ≤ 40/2.5 = 16

2) f(x) = (40 - 2,50x) (500 + 100x) = 40*500 + 40*100x - 2.5x*500 - 2.5x*100x

f(x) = 20000 + 4000x - 1250x - 250x² = -250x² + 2750x + 20000

f'(x) = -500x + 2750 on a f'(x) = 0 pour x = 2750/500 = 5.5 donc le maximum de recette se fera pour x = 5.5

donc f(x) va croitre de x = 1 à x = 5.5

et décroitre de x = 5.5 à x = 16

x devant être un nombre entier la recette maximale sera obtenue pour x = 5 ou x = 6

pour x = 5 soit une baisse de 12.5 € et 500 spectateur de plus

on a f(x) = -250* 5² + 2750 * 5 + 20000 = 27500 €

soit 1000 spectateurs * (40 - 12.5)  = 1000 * 27.5 = 27500 €

pour x = 6 soit une baisse de 15 € et 600 spectateurs de plus

on a f(x) = -250* 6² + 2750 * 6 + 20000 = 27500 €

soit 1100 spectateurs * (40 - 15)  = 1100 * 25 = 27500 €

remarque : pour x = 4, f(x) = 27000 € et pour x = 7, f(x) = 27000 €