Réponse :
1) pour n ≥ 6 on a 2ⁿ ≥ (n + 1)² est vraie donc P(n) est vraie
2) on suppose que pour n ≥ 6 P(n) est vraie c'est à dire 2ⁿ ≥ (n + 1)²
on doit montrer que P(n+ 1) est vraie c'est à dire 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 2)²
2ⁿ ≥ (n + 1)² ⇔ 2 x 2ⁿ ≥ 2 x (n + 1)² ⇔ 2ⁿ⁺¹ ≥ 2 n² + 4 n + 2
pour n ≥ 6 ; 2 n² + 4 n + 2 ≥ (n + 2)²
étudions le signe : 2 n² + 4 n + 2 - (n² + 4 n + 4) ≥ 0
⇔ 2 n² + 4 n + 2 - n² - 4 n - 4 ≥ 0 ⇔ n² - 2 ≥ 0
x - ∞ - √2 √2 + ∞
x²-2 + 0 - 0 +
donc pour n ≥ 6 on a bien que 2 n² + 4 n + 2 ≥ (n + 2)²
donc pour n ≥ 6; 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 2)²
donc P(n) ⇒ P(n+1) est vraie
3) pour l'initialisation on prend n0 = 6
Explications étape par étape :
