Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir
sur R
g(x) = x³ + 3x - 4
g est une fonction dérivable sur R
donc g'(x) = 3x² + 3 = 3 (x² + 1)
or x² + 1 > 0 sur R
donc g'(x) > 0 sur R
tableau de variation de g
x - ∞ + ∞
_____________________________
g' +
____________________________
g croissante
Donc g est strictement croissante sur R
2) g(1) = (1)³ + 3(1) - 4= 1 +3 - 4 = 0
signe de g
x - ∞ 1 + ∞
g - ⊕ +
Conjecture
pour x > 1 la fonction g est positive
Pour x < 1 la fonction est négative
pour x = 1, g(1) = 0
f(x) = ( -2x³ + 4x²)/(x² + 1)
comme x² + 1 > 0, la fonction existe bien sur R
donc f est dérivable sur R
f est de la forme u/v
la fonction dérivée de u/ v est (u'v - uv')/v²
soit u(x) = -2x³ + 4x²
u'(x) = - 6x² + 8x
soit v(x) = x² + 1
v'(x) = 2x
donc la fonction dérivée u(x)/v(x) est
[u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] /v²(x)
= [ (- 6x² + 8x)(x² + 1) - (-2x³ + 4x²) (2x) ]/(x² + 1)²
= [ - 6x⁴ - 6x² + 8x³ + 8x) - ( - 4x⁴ + 8x³)] / (x² + 1)²
= [ - 6x⁴ - 6x² + 8x³ + 8x + 4x⁴ - 8x³] / (x² + 1)²
= [ - 2x⁴ - 6x² + 8 x ] / (x² + 1)²
donc f'(x) = [ - 2x⁴ - 6x² + 8x ] / (x² + 1)² = - 2x (x³ + 3x - 4)/ (x²+ 1)²
or g(x) = x³ + 3x - 4
donc f'(x) = - 2x × g(x) / (x² + 1)²
f(1) =
on a conjecturer que g(x) >0 si x> 1
et g(x) <0 si x < 1 et g(1) = 0
et (x² + 1)² > 0 sur R
donc tableau de signe de f
x - ∞ 0 1 + ∞
____________________________________________
- 2x + ⊕ - -
____________________________________________
g(x) - - ⊕ +
_____________________________________________
f ' - ⊕ + ⊕ -
_____________________________________________
f décroissante croissante décroissante
équation de tangente en a y= f'(a) (x - a) + f(a)
en x = 1 on a f'(1) = 0
f(1) = ( -2(1)³ + 4(1)²)/((1)² + 1) = (-2 + 4) / 2= 2/2 = 1
f(x) - 2x = ( -2x³ + 4x²)/(x² + 1) - 2x = [ -2x³ + 4x² - 2x³ - 2x]/(x² + 1)
f(x) - 2x = {4x² - 2x] / (x² + 1) = - 2x(- 2x + 1)/(x² + 1)
en x = 0 il existe une tangente parallèle y = - 2x
