Réponse :
ex2
{U0 = 3
{∀n∈N, Un+1 = 10/(4+Un)
Montrer que pour tout n ∈ N ; 1 ≤ Un ≤ 3
on utilise le raisonnement par récurrence
* initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
1 ≤ U0 ≤ 3 or U0 = 3 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons qu'au rang n P(n) est vraie ⇔ 1 ≤ Un ≤ 3
et montrons que P(n+1) est vraie
1 ≤ Un ≤ 3 ⇔ 1 + 4 ≤ 4 + Un ≤ 3 + 4 ⇔ 5 ≤ 4 + Un ≤ 7
⇔ 1/5 ≥ 1/(4+Un) ≥ 1/7 ⇔ 1/7 ≤ 1/(4+Un) ≤ 1/5 ⇔ 10/7 ≤ 10/(4+Un) ≤ 10/5
⇔ 0 ≤ 10/7 ≤ 10/(4+Un) ≤ 2 ≤ 3 donc 0 ≤ 10/(4+Un) ≤ 3
⇔ 0 ≤ Un+1 ≤ 3 donc P(n+1) est vraie
* conclusion : P(0) est vraie au rang n = 0 et elle est héréditaire au rang n; donc P(n) est vraie pour tout n ∈ N
Explications étape par étape :
