Réponse :
82) soit (Un) la suite définie pour tout n ∈ N par
Un = (- 2 n + 1)/(n + 3)
1) étudier les variations de la suite (Un)
Un+1 - Un = [(- 2(n+1) + 1)/((n+1) + 3)] - (- 2 n + 1)/(n + 3)
= (- 2 n - 1)/(n+4)) - (- 2 n + 1)/(n + 3)
= (- 2 n + 1)(n+3)/(n+4)(n+3)) - (- 2 n + 1)(n + 4)/(n+3)(n+4)
= (- 2 n² - 7 n - 3 + 2 n² + 7 n - 4)/(n+3)(n+4)
= - 7/(n+3)(n+4) or n ∈ N donc n ≥ 0 ⇒ n+3 ≥ 3 donc n+3 ≥ 0 et n+4 ≥ 0 Donc le produit (n+3)(n+4) ≥ 0
et - 7 < 0 ⇒ - 7/(n+3)(n+4) ≤ 0 ⇔ Un+1 - Un ≤ 0 donc la suite (Un) est décroissante sur N
2) montrer que (Un) est mi,orée par - 2
on veut montrer que Un ≥ - 2
étudions le signe de Un - (- 2) ⇔ Un + 2
Un + 2 = (- 2 n + 1)/(n+3) + 2
= (- 2 n + 1)/(n + 3)) + 2(n+3)/(n+3)
= (- 2 n + 1 + 2 n + 6)/(n+3)
= 7/(n+3) or n ≥ 0 et n+3 ≥ 3 donc n+3 ≥ 0
7 > 0 ⇒ 7/(n+3) ≥ 0 ⇔ Un + 2 ≥ 0 ⇔ Un ≥ - 2
3) en déduire que la suite (Un) est convergente
(Un) est décroissante sur et minorée donc (Un) est convergente
Explications étape par étape :