Sagot :
Réponse :
{U0 = 2
{∀n∈N, Un+1 = 1 + 1/(1+Un)
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel; 1 ≤ Un ≤ 2
1) Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
U0 = 2 ⇒ 1 ≤ 2 ≤ 2 donc 1 ≤ U0 ≤ 2 ⇒ P(0) est vraie
2) hérédité : supposons que pour tout entier naturel n; P(n) est vraie
⇔ 1 ≤ Un ≤ 2 et montrons que P(n+1) est vraie
Un+1 = 1 + 1/(1 + Un)
= ((1 + Un) + 1)/(1+Un)
= (2 + Un)/(1 + Un)
sachant que 1 ≤ Un ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 1 + Un ≤ 3 ⇔ 1/3 ≤ 1/(1+Un) ≤ 1/2
1 ≤ Un ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 2 + Un ≤ 4
Donc par produit 3 x 1/3 ≤ (2+Un) x 1/(1 + Un) ≤ 4 x 1/2
on obtient donc 1 ≤ Un+1 ≤ 2 donc P(n+1) est vraie
3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 0
et héréditaire à partir de ce rang; donc elle est vraie pour tout entier naturel n
Explications étape par étape :
