Bonjour,
1) Il faut résoudre l'équation différentielle : 2y' + y = 30
⇔ y' + y/2 = 15 (E)
Solution générale de l'équation sans second membre : y' + y/2 = 0 :
y = k.e^(-x/2) avec k réel quelconque
Solution particulière de l'équation complète : y' + y/2 = 15
yp = 30 (on vérifie yp' = 0 et donc y'p + yp = 0 + 30/2 = 15)
Solution générale de l'équation complète :
f = y + yp = k.e^(-x/2) + 30
Condition initiale : il faut que f(0) = -25,000
⇒ k.e^(0) + 30 = -25 ⇒ k = -55
⇒ f(x) = 30 - 55e^(-x/2)
2) Voir Excel ci-joint
On vérifie bien que la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et valeurs calculées est bien inférieure à 1.
3)a) f(x) ≥ 29,800
⇔ 30 - 55e^(-x/2) ≥ 29,800
⇔ 30 - 29,8 ≥ 55e^(-x/2)
⇔ 0,2 ≥ 55e^(-x/2)
⇔ e^(-x/2) ≤ 0,2/55
⇒ -x/2 ≤ ln(0,2/55)
⇔ x ≥ -2ln(0,2/55)
Soit x ≥ 11,... donc en 2009 + 12 = 2021
b) Non, car lim quand x → +∞ de f(x) = 30
