Réponse :
Partie B
soit la fonction f définie sur R par f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24
1) montrer que pour tout réel x, f(x) = - 2(x - 3)(x + 4)(x - 1)
f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24
= - 2(x³ - 13 x + 12)
pour x = 1 ⇒ f(1) = - 2(1 - 13 + 12) = 0 ⇒ x = 1 est une solution
donc on écrit f(x) = - 2(x - 1)(a x² + b x + c)
= - 2(a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c)
= - 2(x - 1)(a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c)
a = 1
b - a = 0
c - b = - 13 ⇒ b = - 12 + 13 = 1
- c = 12 ⇒ c = - 12
donc f(x) = - 2(x - 1)(x² + x - 12)
Δ = 1 + 48 = 49
x1 = - 1 + 7)/2 = 3
x2 = - 1 - 7)/2 = - 4
donc f(x) = - 2(x - 1)(x - 3)(x + 4)
2) en déduire les racines de f sur R
f (x) = 0 ⇔ S = {- 4 ; 1 ; 3}
3) dresser le tableau de signes de f sur R
x - ∞ - 4 1 3 + ∞
x - 1 - - 0 + +
x - 3 - - - 0 +
x + 4 - 0 + + +
- 2 - - - -
f(x) + 0 - 0 + 0 -
Partie C
a) lire f(3) et f '(3)
f(3) = 2 et f '(3) = - 3
b) f(1) = 4 et f '(1) = 1
c) f(0) = 2 et f '(0) = 3
2) existe t-il une valeur de x où f '(x) = 0
pour x = 1.5 ⇒ f '(1.5) = 0 tangente horizontale au sommet de la parabole
Explications étape par étape :
