Réponse :
Partie A
f(x) = 2 x² + 4 x - 30
1) vérifier que - 5 est une racine de f
f(-5) = 2*(-5)² + 4*(-5) - 30 = 50 - 20 - 30 = 50-50 = 0
donc - 5 est une racine de f
2) sachant que la droite d'équation x = - 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f, déterminer la seconde racine de f
comme x = - 1 est un axe de symétrie donc x1 = x2 par rapport à cet axe de symétrie donc x2 = 4 en revenant à l'axe initial x2 = 4 - 1 = 3
donc la seconde racine de f est x2 = 3
3) en déduire la forme factorisée de f
f(x) = 2(x + 5)(x - 3)
4) donner la dérivée f '(x) de la fonction f
f(x) = 2 x² + 4 x - 30
la fonction f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée est f '(x) = 4 x + 4
5) calculer f(2) et f '(2)
f(2) = 2*2² + 4*2 - 30 = 16 - 30 = - 14
f '(2) = 4*2 + 4 = 12
6) montrer que l'équation de la tangente au point d'abscisse de 2 est :
y = 12 x - 38
l'équation de la tangente au point d'abscisse 2
est y = f(2) + f '(2)(x - 2)
y = - 14 + 12(x - 2)
= - 14 + 12 x - 24
y = 12 x - 38
Partie B
soit f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24
1) montrer que pour tout réel x, f(x) = - 2(x - 3)(x + 4)(x - 1)
f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24
pour x = 1 ⇒ f(1) = - 2 + 26 - 24 = 26 - 26 = 0 ⇒ x = 1 est une racine de f
on écrit f(x) = - 2(x³ - 13 x + 12)
= - 2(x - 1)(a x² + b x + c)
= - 2(a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c)
= - 2(a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c)
a = 1
b - a = 0 ⇒ b = a = 1
c - b = - 13
- c = 12 ⇒ c = - 12
donc f(x) = - 2(x - 1)(x² + x - 12)
cherchons les racines de x² + x - 12
Δ = 1 + 48 = 49 > 0 ⇒ deux racines distinctes
x1 = - 1 + 7)/2 = 3
x2 = - 1 - 7)/2 = - 4
donc factorisons x² + x - 12 = (x - 3)(x + 4)
f(x) = - 2(x - 1)(x - 3)(x + 4)
Explications étape par étape :
