Réponse :
Explications étape par étape :
■ il est évident que x est positif
et qu' il faut x < 9 cm !
■ la Surface du fond de la boîte est donc :
(24-2x) * (18-2x) = 432 - 84x + 4x² .
■ le Volume de la boîte est donc :
(432 - 84x + 4x²) * x
= 432x - 84x² + 4x³
= 4x ( 108 - 21x + x²)
= 4x ( x - 12 ) ( x - 9 )
■ dérivons ce Volume :
V ' (x) = 432 - 168x + 12x²
= 12 ( 36 - 14x + x²)
la Casio25 donne comme racines 3,4 et 10,6 ( environ )
cette dérivée est nulle pour x ≈ 3,4 cm
( la seconde valeur x ≈ 10,6 cm doit être éliminée
car elle est supérieure à 9 cm ! )
■ tableau-résumé :
x --> 0 2 3,4 6 9 cm
V ' (x) --> 432 144 0 -144 -108
V(x) --> 0 560 655 432 0 cm³
■ le Volume maxi est atteint pour x voisin de 3,4 cm
--> ce Vmaxi est alors voisin de 655 cm³ .
■ résolvons l' inéquation :
4x³ - 84x² + 432x ≥ 650
4x³ - 84x² + 432x - 650 ≥ 0
2x³ - 42x² + 216x - 325 ≥ 0
la Casio25 donne ces racines : 3,06 ; 3,74 ; et 14,2 ( environ )
2 ( x-3,06 ) ( x-3,74 ) ( x-14,2 ) ≥ 0
tableau des signes :
x --> 0 3,06 3,74 9
x-3,06 --> - 0 + +
x-3,74 --> - - 0 +
x-14,2 --> - - -
produit -> - 0 + 0 -
conclusion :
le Volume peut être égal ou dépasser 650 cm³
en choisissant x ∈ [ 3,06 cm ; 3,74 cm ] .
■ vérif avc x = 3,06 cm :
Vboîte = 4 * 3,06 * (3,06-12) * (3,06-9)
= 12,24 * 8,94 * 5,94
≈ 650 cm³
