Bonjour, j’aurai besoin d’aide sur un petit devoir de math svp, mercii ^^

ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et AD = 3.
E est le milieu de [AB].

1) Calculer AC et DE.

2) Exprimer les vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD.

3) En déduire le produit scalaire AC.DE.

4) Donner la valeur approchée de l'angle o arrondie à 0,01 près.

J’ai fait le 1, c’était Pythagore donc pour ces droites : AC=5 et DE≈3,6.

Ce sont les résultats du 2 que je ne comprend pas et je ne peux pas avancer dans le 3 :
AC = 4AB + 3BC
DE = 3DA + 2AE
(Que des vecteurs)

Merci d’avance !

Question

Answered

Sagot :

TAALBABACHIR TAALBABACHIR · Answer 1 · 2021-08-10T18:44:00+02:00

Réponse :

2) exprimer les vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD

d'après la relation de Chasles : vec(AC) = vec(AB) + vec(BC)

or vec(BC) = vec(AD) car ABCD rectangle

donc vec(AC) = vec(AB) + vec(AD)

d'après la relation de Chasles vec(DE) = vec(DA) + vec(AE)

or E milieu de AB ⇒ vec(AB) = 2vec(DE) ⇒ vec(DE) = 1/2vec(AB)

de plus vec(DA) = - vec(AD)

donc vec(DE) = - vec(AD) + 1/2vec(AB)

que l'on peut écrire vec(DE) = 1/2vec(AB) - vec(AD)

3) en déduire le produit scalaire vec(AC).vec(DE)

pour des raison de simplicité sachant qu'il s'agit de vecteurs

AC.DE = (AB + AD).((1/2)AB - AD)

= 1/2)AB.AB - AB.AD + (1/2)AD.AB -AD.AD)

or AB.AD = 0 et 1/2)AD.AB = 0 car cos90° = 0

AC.DE = 1/2)4*4 - 3.3 = 8 - 9 = - 1 cos0° = 1

4) donner la valeur approchée de l'angle θ arrondi à 0.01 près

AC.DE = AC.DE.cos θ = - 1 ⇔ 4*3*cosθ = - 1 d'où cos θ = - 1/12

θ = arccos(-1/12) = 94.78°

Explications étape par étape :