Réponse :
Explications étape par étape :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8 cm et AC=6 cm. Soit M, un point du coté (AB).
La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe (AC) en N.
1. Calculer BC.
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a
AB² + AC² = BC²
Application numérique
8² + 6² = BC²
BC² = 64 + 36
BC² = 100
BC = √100
BC = 10
la longueur BC est de 10 cm
2. On pose AM= x. En utilisant le théorème de Thalès, exprimer en fonction de x les longueurs AN et NM. En déduire les longueurs MB et NC.
Dans le triangle ABC rectangle A, dans le triangle AMN,
les points A,M,B et les points points A,N,C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
donc d'après le théorème de Thalès, on a
AM/AB = AN/AC= MN/BC
or AB=8 cm et AC=6 cm et BC = 10 cm et AM = x
donc on a
Application numérique
x/8 = AN/6 = MN / 10
ainsi AN = 6 x / 8 = 3 x/4 et MN = 10 x/8 = 5 x/ 4
3. Exprimer en fonction de x le périmètre P1(x) du trapèze CNMB puis le périmètre P2(x) du triangle ANM
le périmètre du trapèze CNMB est P1(x) = MB + BC + CN + MN
or
MB = AB - AM = 8 - x
BC = 10 cm
CN = AC - AN = 6 - 3 x /4
MN = 5 x/4
donc
P1(x) = 8 - x + 10 + 6 - 3 x/4 + 5 x/4
P1(x) = 24 - x + 2 x/4 = 24 - 4 x/4 + 2 x/4 = 24 - 2x/4
P1(x) = 24 - x/2
le périmètre du triangle ANM est P2(x) = AN + MN + AM
or
AN = 3 x/4
MN = 5 x/4
AM = x
donc
P2(x) = 3 x/4 + 5 x/4 + x
P2(x) = 8 x/4 + x
P2(x) = 2 x + x
P2(x) = 3 x
4. Pour quelles valeurs de x le périmètre du trapèze CNMB est-il :
A. égal à celui du triangle ANM ?
B. strictement inférieur à celui de ANM ?
A)
le périmètre du trapèze CNMB est égal à celui du triangle ANM
donc
P1(x) = P2(x)
24 - x/2 = 3x
24 = 3 x + x/2
24 = 7 x/2
48 = 7 x
48/7 = x
pour x = 48 /7 on a les périmètres P1(x) et P2(x) qui sont égaux
B)
P1(x) < P2 (x)
24 - x/2< 3x
24 < 7x/2
48/7 < x
Pour toutes valeurs de x supérieures à 48 /7 le périmètre P2(x) est plus grand que P1(x)
48/7≈ 6,86 cm