Réponse :
soit x ∈ R
on pose A = √(x²+1) - |x| et B = √(x²+1) + |x|
1) Montrer que : A > 0 et en déduire que : B > 2|x|
A = √(x²+1) - |x| ⇔ A = [(√(x²+1) - |x|)(√(x²+1) + |x|)]/(√(x²+1) + |x|)
= [(x² + 1) - |x|*|x|]/(√(x²+1) + |x|)
or |x|*|x| = |x*x| = |x²| = x² car un carré est positif
donc A = (x² + 1 - x²)/(√(x²+1) + |x|) ⇔ A = 1/(√(x²+1) + |x|)
or (√(x²+1) + |x|) > 0 et 1 > 0 donc A = 1/(√(x²+1) + |x|) > 0
donc A > 0
en déduire que B > 2|x|
A > 0 ⇔ √(x²+1) - |x| > 0 ⇔ √(x²+1) > |x| ⇔ √(x²+1) + |x| > |x| + |x| car |x| >0
⇔ √(x²+1) + |x| > 2|x| ⇔ B > 2|x|
2) calculer AB
AB = (√(x²+1) - |x|)*( √(x²+1) + |x|) = x² + 1 - x² = 1 ⇒ AB = 1
en déduire que A < 1/2|x| pour x ≠ 0
AB = 1 ⇔ A = 1/B et sachant que B > 2|x| ⇔ 1/B < 1/2|x|
donc A < 1/2|x|
3) démontrer que pour tout x ≠ 0
|x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|
A < 1/2|x| ⇔ √(x² + 1) - |x| < 1/2|x| ⇔ √(x² + 1) - |x| + |x| < |x| + 1/2|x|
⇔ √(x² + 1) < |x| + 1/2|x|
B > 2|x| ⇔ √(x² + 1) + |x| > 2|x| ⇔ √(x² + 1) + |x| - |x| > 2|x| - |x|
⇔ √(x² + 1) > |x|
donc on a bien |x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|
Explications étape par étape :
