Réponse :
Bonsoir,
Voici la transcription de la démonstration de Vaison.
Explications étape par étape :
[tex]\forall\ k\ \in \mathbb{N}-\{0,2\}:\\\\k > (1+\dfrac{1}{k} )^k\\\\[/tex]
1) Initialisation:
[tex]3 > (1+\dfrac{1}{3} )^3\\3 > \dfrac{64}{27} =2.370\overline{370}\\[/tex]
2) Hérédité:
On suppose la propriété vraie pour k et on démontre
qu'elle est vraie pour k+1.
[tex]\forall\ k\ \in \mathbb{N}-\{0,2\}: \ k > (1+\dfrac{1}{k} )^k\\\\1+\dfrac{1}{k} >1\\k*(1+\dfrac{1}{k}) > (1+\dfrac{1}{k} )^k*(1+\dfrac{1}{k})\\\\\Longrightarrow\ k+1 > (1+\dfrac{1}{k} )^{k+1}\\[/tex]
Ainsi:
[tex]2019 > (1+\dfrac{1}{2019} )^{2019}\\\\2019 > (\dfrac{2020}{2019} )^{2019}\\\\2019 > (\dfrac{2020^{2019} }{2019^{2019}} )\\\\2019*(2019)^{2019} > 2020^{2019}\\\\\boxed{2019^{2020} > 2020^{2019}}\\[/tex]