Réponse :
soit u une fonction dérivable sur I
1) démontrer que u² est dérivable sur I et déterminer (u²)'
soit x₀ et x des réel ∈ I tel que x ≠ x₀
[(u(x))² - (u(x₀))²]/(x - x₀) = (u(x) - u(x₀))(u(x) + u(x₀))/(x - x₀)
= (u(x) + (u(x₀)) * [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀)
lim (u(x) + u(x₀)) = u(x₀) + u(x₀) = 2u(x₀)
x→x₀
lim (u(x) - u(x₀))/(x- x₀) = u'(x₀)
x→x₀
donc [(u(x))² - (u(x₀))²]/(x - x₀) = 2u(x₀)u'(x₀)
donc la fonction u² est dérivable en x₀ et sa dérivée en x₀ est :
u'(x₀) = 2u(x₀)u'(x₀)
la fonction u est est dérivable en I pour tout x de I, (u²) '(x) = 2uu'
3) démontrer que u³ est dérivable sur I et déterminer (u³)'
soit x₀ et x des réel ∈ I tel que x ≠ x₀
[(u(x))³ - (u(x₀))³]/(x - x₀) = (u(x) - u(x₀))(u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀))/(x - x₀)
= (u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀)) * [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀)
lim (u²(x) + u(x)u(x₀) + u²(x₀)) = u²(x₀) + u(x₀)u(x₀) + u²(x₀) = 3u²(x₀)
x→x₀
lim [(u(x) - u(x₀)]/(x - x₀) = u'(x₀)
x→x₀
donc [(u(x))³ - (u(x₀))³]/(x - x₀) = 3u²(x₀)u'(x₀) quand x tend vers x₀
la fonction u est est dérivable en I pour tout x de I, (u³) '(x) = 3u²u'
3) quelles conjectures peut-on faire ?
si u est dérivable sur I alors u² est dérivable sur I et sa dérivée est:
(u²)'(x) = 2 u'u
si u est dérivable sur I alors u³ est dérivable sur I et sa dérivée est
(u³)'(x) = 3u'u²
si u est dérivable sur I alors uⁿ est dérivable sur I et sa dérivée est
(uⁿ)'(x) = nu'uⁿ⁻¹
Explications étape par étape :
