Réponse :
1) Etudions le signe de [tex]I_{n+1}-I_n[/tex]
[tex]I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^{n+1}} } \, dx -\int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^{n}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {(\frac{e^x}{(1+x)^{n+1}}-\frac{e^x}{(1+x)^{n}} }) } \, dx \\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{e^x-e^x(1+x)}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{-xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=-\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\[/tex]
On a pour tout x de [0;1] :
[tex]xe^{x}>0\\(1+x)^{n+1}>0\\[/tex]
Donc [tex]\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}}>0[/tex] et par positivité de l'intégrale : [tex]\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx >0\\[/tex]
d'où [tex]-\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx < 0\\[/tex]
Ansi [tex]I_{n+1}-I_n < 0[/tex]
La suite (In) est décroissante.
De plus [tex]\frac{e^x}{(1+x)^n} >0[/tex] et est continue sur [0; 1]
Donc [tex]I_n > 0[/tex] par positivité de l'intégrale
La suite(Iₙ) est décroissante et est minorée par 0 donc la suite (Iₙ) converge.
2)
[tex]0\leq x\leq 1\\1\leq e^x\leq e\\[/tex]
et (1+x)ⁿ > 0 sur [0;1]
[tex]\frac{1}{(1+x)^n} \leq \frac{e^x}{(1+x)^n} \leq \frac{e}{(1+x)^n}[/tex]
Par conservation de l'ordre de l'intégrale on a :
[tex]\int\limits^1_0 {\frac{1}{(1+x)^n}} \, dx \leq \int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^n}} \, dx \leq \int\limits^1_0 {\frac{e}{(1+x)^n}} \, dx \\[/tex]
[tex][\frac{1}{-n+1}\times\frac{1}{(1+x)^{n-1}}]_0^1 \leq \int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^n}} \, dx \leq [\frac{e}{-n+1}\times\frac{1}{(1+x)^{n-1}}]_0^1 \\[/tex]
[tex]\frac{1}{-n+1}\times\frac{1}{2^{n-1}}-(\frac{1}{-n+1}\times 1) \leq I_n\leq \frac{e}{-n+1}\times\frac{1}{2^{n-1}}-(\frac{e}{-n+1}\times 1) \\\\-\frac{1}{n-1}\times(\frac{1}{2^{n-1}}-1) \leq I_n\leq -\frac{e}{n-1}\times(\frac{1}{2^{n-1}}-1)\\\\\frac{1}{n-1}\times(1-\frac{1}{2^{n-1}}) \leq I_n\leq \frac{e}{n-1}\times(1-\frac{1}{2^{n-1}})\\[/tex]
[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n-1} =0[/tex] et [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n-1} =0[/tex]
[tex]\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{2} )^{n-1}=0\\\lim_{n \to +\infty} (1 -(\frac{1}{2} )^{n-1})=1\\[/tex]
par produit des limites [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n-1}(1-\frac{1}{2^{n-1}})=0[/tex] et [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n-1}(1-\frac{1}{2^{n-1}})=0[/tex]
Donc d'après le théorème des gendarmes
[tex]\lim_{n \to +\infty} I_n =0[/tex]
