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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths de seconde, regroupant plusieurs chapitres.

Indication et méthodes à utiliser : normes de vecteurs, théorème de Pythagore, colinéarité de vecteurs
On donne les points A(−1; 1);B(3; 2); C(−2; 5);D(2; 6).
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle, puis que ABCD est un carré.

Merci, d'avance

Sagot :

Réponse :

bonsoir, je pense qu'il faut lire ABDC est un carré et non ABCD

Explications étape par étape :

Si tu as placé les points A, B , C  et D sur un repère orthonormé; tu peux conjecturer que si ABC est rectangle isocèle , il l'est en A.

Coordonnées et normes des vecteurs

vecAB :xB-xA=3+1=4    ;yB-yA=2-1=1    donc vec AB(4; 1)

AB²=4²+1²=17   IIvecAB II=V17

vecAC  xC-xA=-2+1=-1  ; yC-yA=5-1=4    donc vecAC(-1; 4)

AC²=17  II vecACII=V17

vecBC  xC-xB=-2-3=-5    yC-yB=5-2=3   donc vecBC (-5;3)

BC²=34     IIvecBCII=V34

On note que AB=AC et que BC²=AB²+AC² le triangle ABC est donc rectangle-isocèle en A.

Calculons les coordonnées du vecteur CD

vecCD  xD-xC=2+2=4   yD-yC=6-5=1   donc vecCD(4; 1)

On note que vecCD=vecAB le quadrilatère ABDC est donc un parallélogramme.

Mais ce parallélogramme a un angle droit et deux cotés consécutifs égaux  c'est donc un carré.