Bonsoir,
J'ai vraiment besoin d'aide, je suis en première et je suis bloquée sur cet exercice de maths :
On note f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = (2x-1)e^-x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal(o,i,j).
1) Calculer la fonction dérivée f' de la fonction f, puis démontrer que, pour tout réel x, f'(x) est du signe de (-2x+3).
2) Dresser le tableau de variation de la fonction f
3) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisse
4) Déterminer une équation de chacune des tangentes T1 et T2 à la courbe C aux points d'abscisse 3/2 et 1/2.
5) Tracer T1, T2 et la courbe C dans le repère (o,i,j)
6) Vérifier que, pour tout réel x, f(x) = -f'(x)+2e^-x
7) En déduire une fonction F telle que F'=f
F est une primitive de f.
Merci d'avance !!

Question

Answered

Sagot :

CROISIERFAMILY CROISIERFAMILY · Answer 1 · 2021-05-19T19:26:54+02:00

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = (2x-1) exp(-x)

■ dérivée f ' (x) = (1-2x) exp(-x) + 2 exp(-x) = (3-2x) exp(-x)

cette dérivée est nulle pour x = 1,5

cette dérivée a bien le même signe que (3-2x) .

■ tableau demandé :

x --> -∞ 0 0,5 1,5 +∞

f ' (x) -> + 1,213 0 -

f(x) -> -∞ -1 0 0,44626 0

■ coordonnées du point C :

C = (0,5 ; 0 ) .

■ Tangente T2 au point C :

y = 1,213x - 0,6065 .

■ Tangente T1 au point S (1,5 ; 0,44626) :

y = 0,44626

( tangente horizontale ! )

■ -f ' (x) + 2 exp(-x) = (2x-3) exp(-x) + 2 exp(-x)

= (2x-1) exp(-x)

= f(x) vérifié !

■ primitive F(x) = (ax+b) exp(-x)

donne f(x) = a exp(-x) - (ax+b) exp(-x)

= (a-b - ax) exp(-x)

= (2x-1) exp(-x)

donc a = -2 et b = -1

d' où F(x) = (-2x-1) exp(-x) .

vérif :

f(x) = -2 exp(-x) + (2x+1) exp(-x) = (2x-1) exp(-x) .