Explications étape par étape:
Bonsoir, exercice classique du cours d'algèbre linéaire, il reviendra souvent, je te conseille de bien approfondir.
1-a- Soit B = (1, X, X^2) la base canonique.
f(1) = 2X + 1 (en effet, dériver un polynôme constant revient à l'annuler).
f(X) = (2X+1)*X - (X^2 - 1) = X^2 + X + 1.
f(X^2) = (2X+1)*X^2 - (X^2 - 1)*2X = X^2 + 2X.
1-b Soit a et b des réels, et P, Q un couple de polynômes de R2[X]. On vérifie que f(aP + bQ) = a*f(P) + b*f(Q).
f(aP + bQ) = (2X + 1)*(aP + bQ) - (X^2 - 1)*(aP + bQ)'
= (2X + 1)*aP + (2X + 1)*bQ - (X^2 - 1)*[aP' + bQ'] par linéarité de la dérivée.
= (2X + 1)*aP - (X^2 - 1)*aP' + (2X + 1)*bQ - (X^2 - 1)*bQ'
= a*[(2X + 1)*P - (X^2 - 1)P'] + b*[(2X + 1)*Q - (X^2 - 1)Q']
= a*f(P) + b*f(Q).
La linéarité est donc vérifiée.
