Réponse :
1) déterminer la relation entre h et r
V = πr² x h = 1000 ⇔ h = 1000/πr²
2) montrer que S(r) = 2πr² + 2000/r
la surface totale de métal est : S(r) = πr²+πr² + 2πr x h
= 2πr² + 2πr x 1000/πr²
= 2πr² + 2000/r
3) déterminer une valeur approchée à 0.01 près des dimensions de la boite
après avoir établi un tableau de valeur la valeur de r ≈ 5.42 cm donnant une surface minimale
h = 1000/πr² = 1000/π x 5.42² ≈ 10.84 cm
quel est le rapport h/D = 10.84/5.42 = 2
4) démontrer la conjecture, pour cela :
a) calculer la fonction dérivée S' de S en précisant dans quel intervalle varie r
S(r) = 2πr² + 2000/r
S'(r) = 4πr - 2000/r²
= (4πr³ - 2000)/r² ⇔ S ' (r) = 0 ⇔ 4πr³ - 2000 = 0
r³ = 2000/4π = 500/π ⇔ r = ∛(500/π) ≈ 5.42
r ∈ [5.42 ; 10.84]
b) S'(r) = (4πr³ - 2000)/r² or r² > 0
or pour r ≥ 5.42 ⇒ S'(r) ≥ 0 sur l'intervalle [5.42 ; 10.84]
Explications étape par étape :
