Exercice 2
1. Afin de déterminer si les vecteurs sont colinéaires ou non, on regarde si le déterminant des vecteurs est nul :
Pour calculer un déterminant de deux vecteurs u et v, on utilise la formule :
det(AB;CD) = xAB × yCD - xCD × yAB
a. det(u;v) = 3 × (-1) - 6 × (-2)
= -3 + 12
= 9
Les vecteurs u et v ne sont pas coliéaires.
b. det(u;v) = 10 × 2 - (-5) × (-4)
= 20 - 20
= 0
Les vecteurs u et v sont colinéaires.
2. u et v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, donc on a :
4 × y - 5 × 6 = 0
4y - 30 = 0
4y = 30
y = 15/2
Exercice 3
1. On cherche les coordonnées des vecteurs AB et AC :
AB(2-(-1);8-(-1)) ⇔ AB(3;9)
AC(-2-(-1);-4-(-1)) ⇔ AC(-1;-3)
On calcule leur déterminant :
det(AB;AC) = 3 × (-3) - 9 × (-1)
= -9 + 9
= 0
Comme leur déterminant est nul, alors les vecteurs sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés.
2. On sait que les coordonnées de AB sont AB(3;9) ; on cherche les coordonnées du vecteur DE :
DE(9-3;21-3) ⇔ DE(6;18)
On calcule leur déterminant :
det(AB;DE) = 3 × 18 - 9 × 6
= 54 - 54
= 0
Comme leur déterminant est nul, alors les vecteurs sont colinéaires et donc les droites (AB) et (DE) sont parallèles.