Réponse :
Explications étape par étape :
1) boîte pavé droit: largeur:x longueur:2x hauteur :y et volume:1125cm^3
V(pavé)= aire de base X hauteur donc L x l X h
V =x X 2x X y et V =1125 d'où 2x^2 X y = 1125 y = 1125/2x^2
2)Aire totale de la boîte:aire latérale + aire des 2 bases
A(x)= périmètre base X h + 2X aire base rectangle
A(x) = ( x + 2x ) X 1125/2x^2 + 2 X x X 2x
A(x) = 3x X 1125/2x^2 +4 x^2 on simplifie par x le quotient
A (x)= 3 X 1125/x + 4x^2
A(x)= 4x^2 + 3375/ x
3) A'(x)= 8x^2 - 3375/ x^2=(8x^3 - 3375) /x^2 ; réduction mmdénominateur:x^2
calculons (2x - 15)( 4x^2 + 30x + 225) / x^2
(8x^3 + 60x^2 + 450x - 60x^2 -450x -3375 ) / x^2
( 8x^3 - 3375)/ x^2 on retrouve l'écriture de A'(x)
pour ce dernier quotient:le dénom x^2 est toujours positif ,de plus x €[ 4;16]
donc x est toujours positifdonc( 4x^2 + 30x + 225) sera toujors positif d'où le signe de A'(x) sera celui de (2x - 15)
2x-15> 0 si 2x > 15 soit x> 7,5 et 2x-15 <0 si x <7,5
faire le tableau avec les 3 valeurs pour x : 4 ; 7,5 ; 16
A'(x) sera négatif sur le 1er intervalle et positif après.
donc A(x) sera décroissante sur le 1er et croissante sur le second, on voit sur le tableau que l'aire sera minimum si x=7,5cm calculer alors A(x) pour x= 7,5