Réponse :
1) calculer les expressions suivantes :
a) (vec(u) + vec(v)).(vec(u) - vec(v))
vec(u) = (2 ; 0)
vec(v) = (- 1/2 ; √(3)/2) = (- 1/2 ; √(3)/2)
vec(u) + vec(v) = (2 ; 0) + (- 1/2 ; √(3)/2) = (2 - 1/2 ; √6/2) = (3/2 ; √(3)/2)
vec(u) - vec(v) = (2 ; 0) - (-1/2 ; √(3)/2) = (2 + 1/2 ; - √(3)/2) = (5/2 ; -√(3)/2)
(vec(u) + vec(v)).(vec(u) - vec(v)) = 3/2)*5/2 + (√(3)/2)(-√(3)/2) = 15/4 - 3/4 = 12/4 = 3
b) ||vec(u) + vec(v)||² = (3/2)² + (√(3)/2)² = 9/4 + 3/4 = 12/4 = 3
||vec(u) - vec(v)||² = (5/2)²+(-√(3)/2)² = 25/4 + 3/4 = 28/4 = 7
donc ||vec(u) + vec(v)||² - ||vec(u) - vec(v)||² = 3 - 7 = - 4
2) a) calculer ||vec(u) + 2vec(v)||² et ||vec(u) - 2vec(v)||²
vec(u) = (2 ; 0)
vec(v) = (-1/2 ; √(3)/2) ⇒ 2vec(v) = (- 1 ; √3)
vec(u) + 2vec(v) = (2 ; 0) + (- 1 ; √3) = (1 ; √3)
vec(u) - 2vec(v) = (2 ; 0) - (- 1 ; √3) = (3 ; - √3)
||vec(u) + 2vec(v)||² = 1² + (√3)² = 4
||vec(u) - 2vec(v)||² = 3² + (-√3)² = 9 + 3 = 12
b) en déduire que les vecteurs (u+2v) et (u-2v) sont orthogonaux
les vecteurs (u+2v) et (u-2v) sont orthogonaux si xx'+yy' = 0
⇔ 3*1 + (√3)*(-√3) = 3 - 3 = 0
donc les vecteurs (u+2v) et (u-2v) sont orthogonaux
Explications étape par étape
