Bonjour , :)
Explications étape par étape:
[tex]P(Z)=Z^{3}-(11+2i)Z^{2}+2(17+7i)Z-42[/tex]
1) [tex]P(7)=7^{3}-(11+2i)×7^{2}+2(17+7i)×7-42[/tex]
[tex]P(7)=343-539-98i+238+98i-4[/tex]
[tex]P(7)=0[/tex]
C'est à dire qu'il existe un réel solution de l'équation P(Z)=0 qui est [tex]\alpha=7[/tex].
2) [tex]P(Z)=(Z-\alpha)×Q(x)[/tex]
[tex]\Rightarrow P(Z)=(Z-7)(aZ^{2}+bZ+c)[/tex]
[tex]\Rightarrow P(Z)=aZ^{3}+bZ^{2}+cZ-7aZ^{2}-7bZ-7c[/tex]
[tex]\Rightarrow P(Z)=aZ^{3}+(b-7a)Z^{2}+(c-7b)Z-7c[/tex]
Par identification à [tex]P(Z)=Z^{3}-(11+2i)Z^{2}+2(17+7i)Z-42[/tex] ,
a = 1 ; b - 7a= -(11+2i) ; c-7b=2(17+7i) et -7c= -42.
D'où le système : [tex]\begin{cases} a=1 \\ b=-4-2i \\ c-7b=2(17+7i) \\ c=\dfrac{42}{7} \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} a=1 \\ b=-4-2i \\ c-7(-4-2i)=2(17+7i) \\ c=\dfrac{42}{7} \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} a=1 \\ b=-4-2i \\ c = 34+14i+7(-4-2i) \\ c = 6 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} a=1 \\ b= -(4+2i) \\ c = 6 \\c=\dfrac{42}{7}=6 \end{cases}[/tex]
D'où [tex]P(Z)=(Z-7)(Z^{2}-(4+2i)Z+6)[/tex]
3) [tex]P(Z)=0 \iff (Z-7)(Z^{2}-(4+2i)Z+6)=0[/tex]
[tex]\iff[/tex] [tex]Z-7=0[/tex] ou [tex](Z^{2}-(4+2i)Z+6)=0[/tex]
[tex]Z=7[/tex] ou [tex](Z^{2}-(4+2i)Z+6)=0[/tex]
Soit (E) : [tex](Z^{2}-(4+2i)Z+6)=0[/tex]
∆=16+16i-4-4×6
∆=16i-12 ; |∆|=20
Posons [tex]z=x+iz[/tex]
[tex]z^{2}=\Delta \iff \begin{cases} x^{2}+y^{2} = 20 (1) \\ x^{2}-y^{2}= -12 \\ 2xy=16 (3) \end{cases} [/tex]
(1) + (2) ==> [tex]2x^{2}=8 \iff x^{2}=4 \iff x=2 ~ \text{ou} ~ x=-2[/tex]
(2) - (1) ==> [tex]-2y^{2}=-32 \iff y^{2}=16 \iff y=4 ~ \text{ou} ~ y=-4[/tex]
D'où les racines carrées de ∆ sont : [tex]2+4i[/tex] et [tex]-(2+4i)[/tex].
Donc [tex]Z_{1}=\dfrac{4+2i-(2+4i)}{2}=\dfrac{2-2i}{2}=1-i[/tex]
ou [tex]Z_{2}=\dfrac{4+2i+(2+4i)}{2}=\dfrac{6+6i}{2}=3+3i[/tex]
D'où [tex]S_{(E)}=\{1-i ; 3+3i\}[/tex]
Par conséquent [tex]P(Z)=0 \iff Z=7[/tex] ou [tex]Z=1-i[/tex] ou [tex]Z=3+3i[/tex].
Donc [tex]S_{\C}=\{7 ; 1-i ; 3+3i\}[/tex]
